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| Aufgabe | Geben Sie zwei verschiedene Parametergleichungen der Geraden g an, die durch die Punkte A und B geht.
a) A(7|-3|-5), B(2|0|3)
b) A(0|0|0), B(-6|13|25)
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Hallo MatheForum!
Irgendwie hab ich so meine Probleme mit dieser Aufgabe und wollte daher fragen, ob meine Überlegungen und Rechnungen stimmen.
Meine bisherigen Vorüberlegungen:
Die zwei Parametergleichungen müssen der Form
[mm] \overrightarrow{x}= \overrightarrow{p} [/mm] + [mm] t*\overrightarrow{u}; [/mm] t [mm] \in \IR
[/mm]
entsprechen.
Dabei ist [mm] \overrightarrow{p} [/mm] der Stützvektor und [mm] \overrightarrow{u} [/mm] der Richtungsvektor.
Zur Teilaufgabe a)
Für eine erste Gleichung habe ich [mm] \overrightarrow{u}_{1} [/mm] ermittelt, indem ich [mm] \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a} [/mm] gerechnet habe. Das ergibt in diesem Fall: [mm] \overrightarrow{u}_{1}= \vektor{-5\\ 3 \\8}
[/mm]
Damit würde die 1. Gleichung lauten:
[mm] g_{1}: \overrightarrow{x}= \vektor{7\\ -3 \\-5} [/mm] + [mm] t*\vektor{-5\\ 3 \\8}
[/mm]
So sind wir jedenfalls immer im Unterricht vorgegangen.
Mein Problem: Wie nun eine zweite Gleichung finden?
Meine Überlegung war, dass ich für [mm] \overrightarrow{u}_{2} \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} [/mm] rechne, also die Richtung des Vektors umkehre.
So könnte die 2. Gleichung z.B. folgendermaßen lauten:
[mm] g_{2}: \overrightarrow{x}= \vektor{2\\ 0 \\3} [/mm] + [mm] t*\vektor{5\\ -3 \\-8}
[/mm]
Wäre das eine korrekte Lösung?
Wäre dann nicht auch
[mm] g_{3}: \overrightarrow{x}= \vektor{7\\ -3 \\-5} [/mm] + [mm] t*\vektor{5\\ -3 \\-8}
[/mm]
richtig?
Damit wäre im Vergelich zu [mm] g_{1} [/mm] allein der Richtungsvektor anders, da vorzeichenmäßig "umgedreht".
Bei Teilaufgabe b) kann man ja auch nur [mm] \overrightarrow{u} [/mm] umkehren, da [mm] \overrightarrow{p}= \vektor{0\\ 0 \\0}
[/mm]
Damit also als Lösung:
[mm] g_{1}: \overrightarrow{x}= t*\vektor{-6\\ 13 \\25}
[/mm]
[mm] g_{2}: \overrightarrow{x}= t*\vektor{6\\ -13 \\-25}
[/mm]
Ich würde mich freuen, wenn man meine Überlegungen und Lösungsvorschläge überprüfen könnte.
Ich kann mir Vektoren immer sehr schlecht (besser: überhaupt nicht) vorstellen. Vielleicht liegt es auch daran, dass ich mich mit solchen Aufgaben immer sehr schwer tue.
Ich bedanke mich schon im Voraus für die Hilfe!!
LG Eli
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Alles prima verstanden, da kann man sonst nicht viel zu sagen. Ich machs trotzdem:
du kannst verschiedene Darstellungen ja nur bekommen, indem du den Stützvektor änderst (hast du gemacht) oder den Richtungsvektor änderst (hast du auch gemacht).
Beim Stützvektor kannst du jeden Ortsvektor nehmen, der zu einem Punkt auf der Geraden gehört, z.B. könntest du bei b) auch schreiben:
[mm]g_{3}: \overrightarrow{x}= \vektor{-6 \\ 13 \\25} + t\cdot{}\vektor{-6\\ 13 \\25}[/mm]
Beim Richtungsvektor kannst du nicht nur die Richtung umkehren, sondern ihn auch verlängern oder verkürzen, also etwa:
[mm]g_{4}: \overrightarrow{x}= t\cdot{}\vektor{-12\\ 26 \\50}[/mm]
Aber das sind nur zusätzliche Möglichkeiten - du hast die Aufgabe schon selbst vollständig gelöst.
Gruß,
weightgainer
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Das freut mich aber, das ich richtig gelöst habe!
Vielen Dank für die Durchsicht und Erklärung.
Ich hab alles verstanden!
LG Eli
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