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| Aufgabe | 2. Ermittle die Parameter a und b so, dass der Graph von f nirgends abreisst und nirgends Knickstellen hat, d.h. f ist an jeder Stelle stetig und differenzierbar.
Zeichne den Graphen von f!
[mm] $f(x)=\begin{cases} ax-3, & \mbox{für} \ x \ge 2 \\ x^{2}+b, & \mbox{für} \ x < 2 \end{cases}$
[/mm]
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Der Latex-Code wird bei mir nicht dargestellt, deshalb schreibe ich ihn einfach mal so hin:
f:x -> ax-3 x>=2 und [mm] x^2+b [/mm] für x<2
gezeichnet ergibt es die nach unten/oben verschobene Normalparabel bis zu 2 und ab dann eine Gerade die -3 schneidet und diejenige Steigung haben sollte, so dass sie die Parabel bei b gerade abnimmt....
[mm] ax-3=b^{2}+b [/mm]
Doch wie weiter? Ich denke dass ich etwas ableiten muss, doch egal welche Seite ich ableite, ich komme nicht auf das richtige Resultat...
Lösungen wären: a=4 b=1
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:22 Mo 27.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:35 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Denny22 |
> 2. Ermittle die Parameter a und b so, dass der Graph von f
> nirgends abreisst und nirgends Knickstellen hat, d.h. f ist
> an jeder Stelle stetig und differenzierbar.
> Zeichne den Graphen von f!
> [mm]f(x)=\begin{cases} ax-3, & \mbox{für} \ x \ge 2 \\ x^{2}+b, & \mbox{für} \ x < 2 \end{cases}[/mm]
>
> Der Latex-Code wird bei mir nicht dargestellt, deshalb
> schreibe ich ihn einfach mal so hin:
>
> f:x -> ax-3 x>=2 und [mm]x^2+b[/mm] für x<2
>
>
>
> gezeichnet ergibt es die nach unten/oben verschobene
> Normalparabel bis zu 2 und ab dann eine Gerade die -3
> schneidet und diejenige Steigung haben sollte, so dass sie
> die Parabel bei b gerade abnimmt....
>
> [mm]ax-3=b^{2}+b[/mm]
>
> Doch wie weiter? Ich denke dass ich etwas ableiten muss,
> doch egal welche Seite ich ableite, ich komme nicht auf das
> richtige Resultat...
>
> Lösungen wären: a=4 b=1
Hallo,
Zunächst benötigst Du Werte $a,b$, so dass die zwei Teilfunktionen sich im Punkt $x=2$ berühren. Dazu setzt Du $x=2$ ein und setzt Deine stückweisen Funktionen gleich:
[mm] $2a-3=4+b\quad\Longrightarrow\quad [/mm] 2a-b+7=0$
Okay soweit. Damit die Funktion nun differentierbar ist, muss die Steigung und damit die Ableitung beider stückweiser Funktionsteile im Punkt $x=2$ übereinstimmen. Daher leitest Du beide Teile ab, setzt $x=2$ ein und setzt sie gleich:
[mm] $a=4+b\quad\Longrightarrow\quad [/mm] a-b-4=0$
Jetzt hast Du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.
$2a-b+7=0$
$a-b-4=0$
Diese musst Du nun lösen. Dazu betrachten wir zunächst die zweite Gleichung
[mm] $a-b-4=0\quad\Longrightarrow\quad [/mm] a=b+4$
Setzen wir jetzt $a=b+4$ in die erste Gleichung ein, so bekommen wir
[mm] $2(b+4)-b+7=0\quad\Longrightarrow\quad [/mm] b=-15$
Setzen wir $b=-15$ in die zweite Gleichung ein, dann bekommen wir
[mm] $a-(-15)-4=0\quad\Longrightarrow\quad [/mm] a=-11$
Damit ist Deine Lösung $(a,b)=(-11,-15)$, also $a=-11$ und $b=-15$. Ich denke, dass das soweit stimmt.
Gruß
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