Parameterberechnung < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionsschar fa(x) = [mm] \bruch{x+2a}{x^2-3a^2}
[/mm]
wobei [mm] x\in [/mm] Dfa, [mm] a\in\IR [/mm] und [mm] a\not=0
[/mm]
Berechnen Sie das Parameter a, für den die Tangenten an den Graphen Ga in den Schnittpunkten mit der x-Achse und y-Achse orthogonal zueinander sind. |
Hallo,
ich grübel schon die ganze Zeit wie ich diese Aufgabe lösen könnte, ich habe auch schon einen Ansatz aber ich komme trotzdem nicht so wirklich zurecht.
Der Ansatz ist, dass ich eine Skizze gemacht habe mit den möglichen 2 Tangenten und an diese Steigungsdreiecke gezeichnet habe, sodass die eine Tangente die andere Tangente um 180° gedreht darstellt (wegen othogonal), sodass auch das Steigunsdreieck sich um 180° dreht.
Also ist m1= [mm] \bruch{y0}{x0} [/mm] und m2= [mm] \bruch{-x0}{y0}.
[/mm]
Außerdem hab ich gelernt, dass das Produkt dieser Steigungen -1 sein muss, sodass sie orthogonal aufeinander liegen.
Also: [mm] \bruch{y0}{x0} [/mm] * [mm] \bruch{-x0}{y0}= [/mm] -1
Allerdings weiß ich nicht, wie ich jetzt fortfahren soll, um den Parameter zu berechnen, sowas musste ich bisher noch nie machen :S
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte und mir versucht die Schritte möglichst genau zu erklären.
Vielen Dank im Voraus!
LG
|
|
| |
|
Hallo, du benötigst zunächst die Schnittpunkte mit den Achsen:
mit x-Achse: setze y=0
mit y-Achse: setze x=0
berechne dann die Anstiege an den zwei Stellen: Nullstelle, x=0
das Produkt ist -1
Steffi
|
|
|
| |
|
Hallo Steffi,
vielen Dank erstmal für deine Hilfe,
ich habe allerdings noch eine Frage zu deiner Antwort
ich habe die beiden Schnittpunkte jetzt ausgerechnet:
einmal [mm] \bruch{2}{3a} [/mm] (Schnittpunkt mit y-Achse)
und -2a (Schnittpunkt mit x-Achse)
Also sind meine beiden Schnittpunkte:
[mm] S1(0/\bruch{2}{3a}) [/mm] und S2(-2a/0)
Wie berechne ich die Steigungen? Ich kann jetzt doch nicht einfach die y- Koordinate durch die x- Koordinate teilen, oder? Sonst teile ich einmal ja durch 0 und das darf man ja nicht...
|
|
|
| |
|
Hallo, kleiner Vorzeichen- oder Schreibfehler,
[mm] S_1(0; [/mm] - [mm] \bruch{2}{3a})
[/mm]
[mm] S_2(-2a; [/mm] 0) korrekt
um die Steigung zu berechnen, benötigst du doch die 1. Ableitung, berechne dann f'(0) und f'(-2a), wie schon gesagt, f'(0)*f'(-2a)=-1
Steffi
|
|
|
| |
|
Achso, okay jetzt habe ich es verstanden :)
Vielen vielen Dank :)
Hast du zufällig das Ergebnis der Aufgabe (als Kontrolle für mich), wenn nicht ist auch egal ^^
Mein Ergebnis ist a= [mm] -\bruch{1}{30}
[/mm]
Hoffe das ist richtig..^^
|
|
|
| |
|
Hallo, leider ist dein a nicht korrekt, stelle mal bitte dein Ableitung und dann das Produkt vor, nur so können wir deinen Fehler finden, Steffi
|
|
|
| |
|
Die Ableitung lautet:
f'a (x) = [mm] \bruch{-x^2-4ax-3a^2}{(x^2-3a^2)^2}
[/mm]
f'a(0)= [mm] -a^2
[/mm]
f'a(-2a)= [mm] \bruch{-1+2a}{32a^3} [/mm] (gekürzt)
also ist das Produkt:
[mm] -a^2 [/mm] * [mm] \bruch{-1+2a}{32a^3} [/mm] = -1
[mm] \bruch{a^2 - 2a^3}{32a^3} [/mm] = -1
weiter umgeformt:
[mm] a^2- 2a^3 [/mm] = [mm] -32a^3
[/mm]
[mm] a^2 [/mm] = -30 [mm] a^3 [/mm]
Da [mm] a\not= [/mm] 0 darf man durch a Teilen:
[mm] a^2 [/mm] = [mm] -30a^3 [/mm]
a kürzen:
[mm] \bruch{1}{-30a} [/mm] = 1
Kehrwert bilden:
-30a= 1
a= [mm] \bruch{1}{-30}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo SunshineABC,
> Die Ableitung lautet:
>
> f'a (x) = [mm]\bruch{-x^2-4ax-3a^2}{(x^2-3a^2)^2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> f'a(0)= [mm]-a^2[/mm]
> f'a(-2a)= [mm]\bruch{-1+2a}{32a^3}[/mm] (gekürzt)
Die Werte der Ableitungen an diesen Stellen mußt Du nochmal nachrechnen.
>
> also ist das Produkt:
>
> [mm]-a^2[/mm] * [mm]\bruch{-1+2a}{32a^3}[/mm] = -1
> [mm]\bruch{a^2 - 2a^3}{32a^3}[/mm] = -1
> weiter umgeformt:
> [mm]a^2- 2a^3[/mm] = [mm]-32a^3[/mm]
> [mm]a^2[/mm] = -30 [mm]a^3[/mm]
> Da [mm]a\not=[/mm] 0 darf man durch a Teilen:
> [mm]a^2[/mm] = [mm]-30a^3[/mm]
> a kürzen:
> [mm]\bruch{1}{-30a}[/mm] = 1
> Kehrwert bilden:
> -30a= 1
> a= [mm]\bruch{1}{-30}[/mm]
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hmm..
jaa ich hab paar Minus Zeichen vergessen..
Ist a= [mm] \bruch{1}{34} [/mm] jetzt wenigstens richtig? *hoff*
|
|
|
| |
|
Ach verdammt ich habe meinen Fehler gerade bemerkt ..
|
|
|
| |
|
So,
ich habe meine Fehler jetzt hoffentlich alle berichtigt^^
Danke für deine Geduld..^^
Lautet das Ergebnis für a vielleicht a= -3??? *hoff*
|
|
|
| |
|
Hallo, leider auch nicht, Steffi
|
|
|
| |
|
Hallo, auch dieser Wert ist nicht ok
[mm] f'(0)=\bruch{-3a^{2}}{9a^{4}}=-\bruch{1}{3a^{2}}
[/mm]
[mm] f'(-2a)=\bruch{-4a^{2}+8a^{2}-3a^{2}}{a^{4}}=\bruch{a^{2}}{a^{4}}=\bruch{1}{a^{2}}
[/mm]
jetzt: [mm] -\bruch{1}{3a^{2}}*\bruch{1}{a^{2}}=-1
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
Bevor meins jetzt wieder falsch ist .. sfz
Was hast du denn für a raus dann probier ich es solange bis ich das ebenfalls als Ergebnis habe..
|
|
|
| |
|
Aber die letzte Gleichung sollte doch nun kein Problem mehr sein
[mm] -\bruch{1}{3a^{2}}\cdot{}\bruch{1}{a^{2}}=-1
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3a^{2}}\cdot{}\bruch{1}{a^{2}}=1
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3a^{4}}=1
[/mm]
[mm] a^{4}=\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] a=\pm [/mm] 4. Wurzel aus [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
Jippi :) das habe ich jetzt endlich auch!!! :D
Nochmal Vielen Dank für die Hilfe und vorallem für die Geduld =)
|
|
|
|
