Parabel Tangiert mit Geraden < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:53 Sa 08.12.2007 | | Autor: | coast |
| Aufgabe | Haben eine Parabel und eine Gerade nur einen gemeinsamen Punkt, so handelt ers sich ber der Geraden um eine Tangente.
Eine Normalparabel soll in x-Richtung und y-Richtung verschoben werden, dass sdie gerade t mit t(x) = 4 x - 2 Tagente an die verschoeben Normalparabel imd Punkt P(1|2) ist.
a)fertigen Sie eine Skizze an
b)Geben Sie die Funktionsgleichung f(x) der verschobenen Normalparabel in Scheitelform an |
Hallo,
hänge jetzt bereits seit einer Stunde an der Teilaufgabe b) und komme nicht weiter.
Mein bisherigen Ansätze:
4x-2=x²+bx+c
bzw.
4x-2=(x-d)²+e
und
2=b+c
Wie ich es mache, ich komme immer auf 2 Unbekannte. Mein Vater hat etwas von der Steigung der Parabel und von einer Abgleichung gesprochen...ich wüsste nicht dass ich dies im der Schule schon behandelt habe.
Ich hoffe, mir kann jemand einen Lösungsweg ohne den Ansatz meines Vaters zeigen - falls kein anderer Lösungsweg möglich ist, wäre ich natürlich auch über den Lösungsweg mit der Abgleichung sehr dankbar!
vielen Dank,
mit freundlichen Grüßen
coast
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:04 So 09.12.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo!
Ja hier brauchst du Ableitungsregeln.
Die Ableitung bei deiner Parabel sagt dir, wie groß die Steigung in einem bestimmten Punkt ist.
Die Normalparabel: [mm] f(x)=x^2
[/mm]
Die Ableitung davon ist f´(x)=2x
Der Exponent "rutscht" runter vor dein x und wird um eins kleiner.
Allgemein gilt: [mm] f(x)=x^n
[/mm]
Ableitung: [mm] f(x)=n*x^{n-1}
[/mm]
Analog gilt dies auch für verschobene Normalparabeln:
Beispiel: [mm] f(x)=3x^2+4x+5 [/mm] du gehst bei allen Thermteilen so vor wie oben:
Ableitung [mm] f(x)=3*2*x^{2-1}+1*4*x^{1-1}+0*5
[/mm]
Naja darüber kommst du auf die Steigung deiner Parabel und der Rest sollte dann schon klappen.
Eigentlich schreibt man für die Ableitung dann f(x) und darüber ein Apostroph (gelesen f Strich von x), die Formatierung hier haut mir des aber leider wieder raus...
Gruß ONeill
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 So 09.12.2007 | | Autor: | coast |
Ich hab es glaub noch nicht so wirklich verstanden...ich bin nach deiner Vorlage vorgegangen (wie im Beispiel):
f(1) = (1 - d)² + e
f(1) = 1 -2d + d² + e
f(1) = 0 * 1 - 1 * 1 + 1* 2 d
2 = 1 + 2d
d = 1,5
d eingesetzt
2 = 1 - 2 * 1,5 + 1,5² + e
e = 1,75
also
f(x) = (x - 1,5)² + 1,75
Bei einem Scheitelpunkt von S(1,5|1,75) kann dies aber nicht stimmen, da nach meiner Skizze S bei ca. S(- 1,3|- 2,3) liegen sollte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:26 Di 11.12.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
ja die ableitung (nicht abgleichung!) der parabel hilft hier weiter...
für ganzrationale funktionen gilt:
f(x) = [mm] c*x^n [/mm] -> f ' (x) = [mm] n*c*x^{n-1}
[/mm]
dies kann man für jeden summanden einzeln machen!
d.h. du hast eine normalparabel. x -> [mm] x^2
[/mm]
diese soll nun in x- und y-Richtung verschoben werden.
allgemein erhälst du dann
f(x) = [mm] x^2 [/mm] +bx +c
die ableitung ist für diese funktion
f ' (x) = 2x +b wobei f ' (x) auch die Steigung der Funktion f angibt.
Du untersuchst die Stelle P (1/2). An der Stelle muss die Steigung der Funktion gleich der Steigung der Tangente sein.
Also: f' (1) = 2*1 + b
f' (1) = 4 (da deine tangente die steigung 4 hat!)
also ist 2+b = 4 => b=2
jetzt musst du nur noch c ermitteln...
f(1) = t(1) =2
[mm] x^2 [/mm] +bx +c = 2
b einsetzen
[mm] x^2 [/mm] +2x +c = 2
x einsetzen
[mm] 1^2 [/mm] +2*1 +c = 2 => c= -1
Die gesuchte Funktionsgleichung lautet also:
f(x)= [mm] x^2 [/mm] +2x -1
in scheitelpunktform
f(x)= [mm] (x+1)^2 [/mm] -2
=> S(-1 / -2) !
gruß
wolfgang
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aus. Wegen des gegebenen Punktes wissen wir für $p(x) \ = \ [mm] x^2+b*x+c$ [/mm] :
p/q-Formel