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PQ-Formel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:37 Fr 06.02.2009
Autor: Max80

Aufgabe
Zeige, dass die Gleichung [mm] x^4 [/mm] - [mm] 4x^3 [/mm] + 27 = 0

nur die Lösung x = 3 (diese sogar doppelt) hat!

bin bis jetzt soweit:

[mm] x^4 [/mm] - [mm] 4x^3 [/mm] = -27

jetzt die quadraht-wurzel ziehen:

[mm] x^2 [/mm] - 4x = -27

sieht mir nach pq-formel aus. also:

[mm] x^2 [/mm] - 4x +27 = 0

pq:

[mm] x_{1,2} [/mm] = +2 [mm] \pm \wurzel{4 - 27} [/mm]

jetzt habe ich allerdings das problem, dass die wurzel negativ ist.... :(

was ist jetzt eigtl. mit "doppelt" gemeint??


danke!!
        
Bezug
PQ-Formel: Korrektur/Lösungsversuch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:55 Fr 06.02.2009
Autor: barsch

Hi,

> Zeige, dass die Gleichung [mm]x^4[/mm] - [mm]4x^3[/mm] + 27 = 0
>  
> nur die Lösung x = 3 (diese sogar doppelt) hat!
>  bin bis jetzt soweit:
>  
> [mm]x^4[/mm] - [mm]4x^3[/mm] = -27
>  
> jetzt die quadraht-wurzel ziehen: [stop]
>  
> [mm]x^2[/mm] - 4x = -27

du kannst nicht einfach die Wurzel auf einer Seite ziehen und auf der anderen Seite nicht. Zudem ziehst du die Wurzel komponentenweise - das geht auch nicht! Zudem ist [mm] \wurzel{4x^3}=4x^{\bruch{3}{2}}\not=4x [/mm]

Wie würde ich vorgehen [kopfkratz3]

[mm] x^4-4x^3+27=0 [/mm]

[mm] \gdw x^4-4x^3=-27 [/mm]

[mm] \gdw x^2*(x^2-4x)=-27 [/mm]

-27 lässt sich nur darstellen durch: [mm] (-3)\cdot{9} [/mm] bzw. [mm] 9\cdot{(-3)} [/mm] oder [mm] 3\cdot{(-9)} [/mm] bzw. [mm] (-9)\cdot{3} [/mm]

Weitere Überlegungen bringen einen dann zu dem Schluss, dass nur x=3 Lösung ist.

MfG barsch
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PQ-Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:42 Sa 07.02.2009
Autor: max3000

Ich denke mal die Aufgabe läuft darauf hinaus, dass man das Ding in Linearfaktoren mit Polynomdivision zerlegen soll.

Also den Term 2 mal durch (x-3) teilen, dann sollte man auf was kommen wie:

[mm] (x-3)^2*(x^2+ax+b)=0, [/mm]

wobei [mm] x^2+ax+b [/mm] keine reelle Nullstellen hat, quasi der Term in der Wurzel in der PQ-Formel negativ ist.
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PQ-Formel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:48 Sa 07.02.2009
Autor: barsch

Hi,

stimmt, Polynomdivision. Gut!

MfG barsch
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PQ-Formel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:02 Sa 07.02.2009
Autor: Max80

erstmal danke! ohne die experten hier wär ich aufgeschmissen! wirklich!

aber warum 2x durch (x-3)??
Bezug
                                        
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PQ-Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:57 Sa 07.02.2009
Autor: max3000

Weil in der Aufgabenstellung verraten ist, dass 3 eine doppelte Lösung ist.
Schau dir mal den Fundamentalsatz der Algebra an (Google hilft). Dann kannst du ein Polynom mit den Nullstellen [mm] x_i [/mm] in Linearfaktoren [mm] (x-x_1)*\ldots(x-x_n) [/mm] zerlegen.
Genau das erreichst du mit Polynomdivision.
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PQ-Formel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:11 Sa 07.02.2009
Autor: Max80

ist das denn richtig dividiert? die 27 ist ja verschwunden...
Bezug
                                
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PQ-Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:27 Sa 07.02.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Max80,

> ist das denn richtig dividiert? die 27 ist ja
> verschwunden... [haee]

Was genau meinst du damit?

Das Restpolynom, von dem in dem post oben die Rede ist, bekommst du, wenn du dein Ausgangspolynom durch [mm] $(x-3)^2$ [/mm] teilst, bzw. in 2 Schritten durch $(x-3)$ teilst und dann das Ergebnis nochmal durch $(x-3)$ teilst

[mm] $(x^4-4x^3+27):(x-3)=x^3-x^2-3x-9$ [/mm]

Rechne das nach!

Dann dasselbe nochmal mit dem Ergebnis, also

[mm] $(x^3-x^2-3x-9):(x-3)=...$ [/mm]

selber ausrechnen!

Das Ergebnis(polynom) ist vom Grad 2 und hat dann keine weiter(n) reelle(n) NST(en), das kannst du zB. mit der p/q-Formel nachrechnen.

Auf dieses Polynom vom Grad 2 wollte dich max3000 stupsen.

Also rechne mal nach und am besten auch hier vor ;-)

LG

schachuzipus

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