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PBZ Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:40 Sa 09.02.2008
Autor: MacChevap

Aufgabe
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dx}{(x²+2x+3)^{3}}} [/mm]

Repetitorium, S.289 , Bsp.13.16 c)

Hallo !

Ich frage mich wie ich die Stammfunktion zu diesem Integral finde. ( Und was wäre, wenn im Zähler x² stünde oder der [mm] Nenner^{5} [/mm] ? )

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dx}{X²}} [/mm] = [mm] \bruch{2ax+b}{\Delta X}+\bruch{2a}{ \Delta}*\integral_{}^{}{\bruch{dx}{X}} [/mm]

Ist dieser Ansatz sinvoll ?Wenn ja, wie mache ich weiter, da diese Formel nur für X² gilt ?

Fragen über Fragen...ich danke trotzdem schonmal :)

Frage 2 :
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dx}{(1+x²)^{2}}} [/mm] wie komme ich auf diese Stammfunktion ?


        
Bezug
PBZ Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:58 Sa 09.02.2008
Autor: Gogeta259

also:
das zweite Integral würde ich mit einer substitution mit
[mm] x=i*\sin [/mm] t versuchen wobei i die Imaginäre einheit darstellt!

Bei der ersten würde ich genauso vorgehen nachdem ich die quadtatische Gleichung in die Form [mm] au^2+b [/mm] gebracht habe(mit substitution).

Bezug
        
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PBZ Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:24 Sa 09.02.2008
Autor: Martinius

Hallo,

wenn ich in meiner Formelsammlung nachschaue, dann steht da drin:

[mm] $\integral \bruch{1}{(a^2+x^2)^2}\;dx [/mm] = [mm] \bruch{x}{2*a^2*(a^2+x^2)}+\bruch{1}{2a^3}*arctan\left(\bruch{x}{a}\right)$ [/mm]



[mm] $\integral \bruch{1}{X^n}\;dx [/mm] = [mm] \bruch{2ax+b}{(n-1)\Delta X^{n-1}}+\bruch{2(2n-3)a}{(n-1)\Delta}*\integral \bruch{1}{X^{n-1}}\;dx$ [/mm]    

mit  $X = [mm] (ax^2+bx+c)$ [/mm]  und  [mm] $\Delta [/mm] = [mm] 4ac-b^2$ [/mm]



LG, Martinius

Bezug
                
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PBZ Stammfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:44 Sa 09.02.2008
Autor: MacChevap

Danke Martinius, die zweite "erweiterte" Formel hilft mir weiter !

Kann einer noch, was zu
$ [mm] \integral \bruch{1}{(a^2+x^2)^2}\;dx [/mm] = [mm] \bruch{x}{2\cdot{}a^2\cdot{}(a^2+x^2)}+\bruch{1}{2a^3}\cdot{}arctan\left(\bruch{x}{a}\right) [/mm] $ sagen ?

Es geht darum, dass ich demnächst ne Klausur schreibe und ich auf solche Dinge ohne Formelsammlung kommen muss :/ . Falls da jemand weiß, wie man sich das herleiten kann, sei er recht herzlich eingeladen sein Wissen zu teilen mit mir/uns ;)

Ciao

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PBZ Stammfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:59 Sa 09.02.2008
Autor: leduart

Hallo
das einzige ,was mir dazu einfällt ist:
[mm] \bruch{1}{a^2*(1+(x/a)^2)} [/mm] kann man mit [mm] x/a=\tan(z), dx/a=(1+\tan^2z)dz [/mm] lösen.
daher kommt der artan. auf den ersten Teil komm ich nicht.
Gruss leduart

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PBZ Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:21 So 10.02.2008
Autor: ullim

Hi,


[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dt}{(1+t^2)^2}} [/mm]

kann man wie folgt berechnen.

Durch partielle Integration folgt


[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dt}{(1+t^2)}}=\bruch{t}{1+t^2}-\integral_{}^{}{\left(\bruch{d}{dt}\bruch{1}{(1+t^2)}\right)t dt} [/mm]

und

[mm] \bruch{d}{dt}\bruch{1}{(1+t^2)}=\bruch{-2t}{(1+t^2)^2} [/mm]

also


[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dt}{(1+t^2)}}=\bruch{t}{1+t^2}+2\integral_{}^{}{\bruch{t^2}{(1+t^2)^2} dt} [/mm]


wegen

[mm] \bruch{t^2}{(1+t^2)^2}=\bruch{1}{(1+t^2)}-\bruch{1}{(1+t^2)^2} [/mm]

folgt

[mm] 2\integral_{}^{}{\bruch{dt}{(1+t^2)^2}}=\bruch{t}{1+t^2}+\integral_{}^{}{\bruch{dt}{(1+t^2)}} [/mm]

also


[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dt}{(1+t^2)^2}}=\bruch{1}{2}*\bruch{t}{1+t^2}+\bruch{1}{2}*arctan(t) [/mm]

Für das Integral


[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dx}{(a^2+x^2)^2}} [/mm] ergibt sich damit mit der Transformation [mm] t=\bruch{x}{a} [/mm]


[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dx}{(a^2+x^2)^2}}=\bruch{1}{a^3}\integral_{}^{}{\bruch{dt}{(1+t^2)^2}}=\bruch{1}{a^3}\left(\bruch{1}{2}*\bruch{ax}{a^2+x^2}+\bruch{1}{2}*arctan(\bruch{x}{a})\right) [/mm]



mfg ullim

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