P-fast sicher < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Di 10.01.2006 | | Autor: | Crispy |
| Aufgabe 1 | | Für eine Zufallssvariable [mm]\xi[/mm] gilt: [mm]\xi \in \mathcal{L}^{1}(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})[/mm] und [mm]\mathbb{E}(|\xi|)=0[/mm] genau dann, wenn [mm] \xi [/mm] [mm]\mathbb{P}[/mm]-fast sicher verschwindet |
| Aufgabe 2 | | Zeigen Sie: Ist [mm]\xi \in \mathcal{L}^{2}(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})[/mm] mit [mm]\mathbb{V}(\xi)=0[/mm] so ist [mm] \xi [/mm] [mm]\mathbb{P}[/mm]-fast sicher konstant. |
Hallo Mathegemeinde,
Kurze Frage:
Was meint denn in den Aufgaben [mm]\mathbb{P}[/mm]-fast sicher?
wie rechnet man damit?
Gruss,
Crispy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Di 10.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Crispy!
$X=0$ $P$-fast sicher bedeutet:
$P(X [mm] \ne [/mm] 0)=0$,
d.h. die Menge aller [mm] $\omega \in \Omega$, [/mm] für die [mm] $X(\omega)\ne [/mm] 0$ gilt, hat das W-Maß $0$.
Es gelte nun $E[|X|]=0$.
Wäre $P(|X|>0)>0$, dann müsste es wegen der Stetigkeit des W-Maßes auch ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] geben mit [mm] $P(|X|>\varepsilon)>0$.
[/mm]
Dann aber wäre
$E[|X|] [mm] \ge E[|X|\cdot 1_{\{|X| > \varepsilon\}}] \ge \varepsilon \cdot P(|X|>\varepsilon) [/mm] > 0$,
Widerspruch.
Schaffst du den zweiten Teil jetzt selber? 
Liebe Grüße
Stefan
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