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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Nils92 |
| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen f und g mit f(x)= x* [mm] e^{x} [/mm] bzw. g(x)= x* [mm] e^{-x}.
[/mm]
a) Ermitteln Sie die Gleichungen der Wendetangenten an die Graphen von f und g.
b) Was ergibt sich, wenn man die Gleichungen der Wendetangenten der Graphen f(index k) und g(index k) mit f(index k)(x)= [mm] x*e^{kx} [/mm] bzw. g(index k)(x)= [mm] x*e^{-kx}, [/mm] k [mm] \not= [/mm] 0 berechnet und miteinander vergleicht?
c) Zeigen Sie, dass die Wendepunkte von f(index k) bzw. g(index k) auf einer Geraden liegen. Was lässt sich über die Lage der Extrempunkte sagen?
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So erst mal zu Aufgabe a):
-Die Gleichungen der Wendetangenten ist gesucht --> 2. Ableitung bilden
f(x) = x* [mm] e^{x}, [/mm] 1. Ableitung = [mm] e^{x} [/mm] * x + [mm] e^{x} [/mm] = [mm] e^{x} [/mm] * (x+1),
2. Ableitung [mm] =e^{x} [/mm] * (2+x)
Dann die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen:
0= [mm] e^{x} [/mm] * (2+x) [mm] |:e^{x}
[/mm]
0= 2+x | -2
-2 = x(index w)
In die Ausgangsfunktion einsetzen:
f(x(index w))= -2 * [mm] e^{-2} [/mm] = [mm] \bruch{-2}{e^{2}}
[/mm]
Ist das so alles richtig? Dann müsste das jetzt die Ortslinie aller Wendepunkte von f(x) sein.
Danke im vorraus
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Hallo Nils92,
> Gegeben sind die Funktionen f und g mit f(x)= x* [mm]e^{x}[/mm] bzw.
> g(x)= x* [mm]e^{-x}.[/mm]
> a) Ermitteln Sie die Gleichungen der Wendetangenten an die
> Graphen von f und g.
>
> b) Was ergibt sich, wenn man die Gleichungen der
> Wendetangenten der Graphen f(index k) und g(index k) mit
> f(index k)(x)= [mm]x*e^{kx}[/mm] bzw. g(index k)(x)= [mm]x*e^{-kx},[/mm] k
> [mm]\not=[/mm] 0 berechnet und miteinander vergleicht?
>
> c) Zeigen Sie, dass die Wendepunkte von f(index k) bzw.
> g(index k) auf einer Geraden liegen. Was lässt sich über
> die Lage der Extrempunkte sagen?
>
> So erst mal zu Aufgabe a):
>
> -Die Gleichungen der Wendetangenten ist gesucht --> 2.
> Ableitung bilden
>
> f(x) = x* [mm]e^{x},[/mm] 1. Ableitung = [mm]e^{x}[/mm] * x + [mm]e^{x}[/mm] = [mm]e^{x}[/mm]
> * (x+1),
>
> 2. Ableitung [mm]=e^{x}[/mm] * (2+x)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen:
>
> 0= [mm]e^{x}[/mm] * (2+x) [mm]|:e^{x}[/mm]
> 0= 2+x | -2
> -2 = x(index w)
>
> In die Ausgangsfunktion einsetzen:
>
> f(x(index w))= -2 * [mm]e^{-2}[/mm] = [mm]\bruch{-2}{e^{2}}[/mm]
>
> Ist das so alles richtig? Dann müsste das jetzt die
> Ortslinie aller Wendepunkte von f(x) sein.
Hier soll die Gleichung der Wendetangente ermittelt werden.
Demnach eine Gleichung der Bauart [mm]y=a*x+b[/mm].
> Danke im vorraus
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 So 08.11.2009 | | Autor: | Nils92 |
> Demnach eine Gleichung der Bauart [mm]y=a*x+b[/mm].
>
>
> > Danke im vorraus
> >
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
aber das Ergebnis f(x(index w))= -2 * $ [mm] e^{-2} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{-2}{e^{2}} [/mm] $
entspricht doch der Bauart [mm]y=a*x+b[/mm]:
In diesem Fall ist a halt 0 und deshalb ist [mm] c=\bruch{-2}{e^{2}}
[/mm]
Ist doch so oder?
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Hallo,
laut 2. Ableitung liegt an der Stelle x=-2 der Wendepunkt
die Tangente hat die Form y=m*x+n
den Anstieg m bekommst du aus [mm] f'(-2)=-e^{-2}
[/mm]
jetzt ist f(-2) zu berechnen [mm] f(-2)=-2*e^{-2}
[/mm]
der Punkt [mm] (-2;-2*e^{-2}) [/mm] gehört auch zu deiner Tangente
jetzt in die Gleichung y=m*x+n einsetzen und n berechnen
[mm] -2*e^{-2}=(-e^{-2})*(-2)+n
[/mm]
Steffi
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