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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Sa 30.10.2004 | | Autor: | MeP |
Hallo Leute,
ich habe als Aufgabe bekommen die Ortskurve aller relativen Maxima einer gebrochenen rationalen F. [mm]f_{a}(x)=a^2x-a^3+\bruch{4}{x-a} [/mm] zu bestimmen.
Für die Extremwerte erhält man dann:
[mm]x_{E1}=a+\bruch{2}{a}[/mm]
[mm]x_{E2}=a-\bruch{2}{a}[/mm]
Mit Hilfe der Hinreichenden bedingung ergibt sich:
[mm]f''_a(x_{E1})=\left\{\begin{matrix}
>0, & \mbox{wenn }a>0 \\
<0, & \mbox{wenn }a<0
\end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix}
\mbox{rel. Mininmum} & \\
\mbox{rel. Maximum} &
\end{matrix}\right.[/mm]
[mm]f''_a(x_{E2})=\left\{\begin{matrix}
>0, & \mbox{wenn }a<0 \\
<0, & \mbox{wenn }a>0
\end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix}
\mbox{rel. Mininmum} & \\
\mbox{rel. Maximum} &
\end{matrix}\right.[/mm]
Daraus erbibt sich schon, dass es für a > 0 und a < 0 zwei
verschiedene Ortskurven gibt.
Wählt man nun zuerst die Ortskurve der relativen Maxima für a < 0
so muss man [mm]x_{E1}=a+\bruch{2}{a}[/mm] nach a auflösen.
Tut man dass, so ergibt sich eine quadratische Gleichung die man m.H. der Diskriminatenformel (p-q-Formal)
auflöst, und nun die beiden Werte für a in die Ausgangsgleichung
anstelle von a einsetzt.
Daraus ergeben sich zwei Ortskurven der rel. Maxima für a < 0.
Ich habe die beiden Kurven mal in einen Funktionsplotter eingegeben und
habe daraufhin herausgefunden, dass für einen bestimmten wert x<a<0
die Maxima auf einer der Kurven liegen und für a<x<0 die Maxima auf der Anderen liegen.
Mein Problem ist jetzt, wie ich rechnerisch herausbekomme, bei für welches a
das Maximum auf der einen bzw. auf der anderne Kurve liegt.
Danke für die Hilfe
Gruß MEP
Ich habe diese Frage im Forum auf der Internetseite www.onlinemathe.de gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Sa 30.10.2004 | | Autor: | MeP |
Hallo informix,
Also wenn mich jetzt nicht alles täuscht (dann wäre das letzte 3/4 Jahr Mathe-Unterricht hinwürfig), muss man doch die Extremwerte in die 2. Ableitung einsetzen und DANN gucken, wann sie <0 oder >0 ist.
Als zweite Ableitung habe ich genau dasselbe Ergebnis wie Sie (die Ableitungen kriegen wir von unserem Lehrer sowieso vorgegeben, weil wir die nichtmehr üben müssen).
Nach dem Einsetzen erhält man aber :
[mm]f''_a(x_{E1})=a^3[/mm]
[mm]f''_a(x_{E2})=-a^3[/mm]
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Hallo MeP,
die Aufgabe hat es wirklich in sich!
> Hallo Leute,
> ich habe als Aufgabe bekommen die Ortskurve aller relativen
> Maxima einer gebrochenen rationalen F.
> [mm]f_{a}(x)=a^2x-a^3+\bruch{4}{x-a}[/mm] zu bestimmen.
>
> Für die Extremwerte erhält man dann:
> [mm]x_{E1}=a+\bruch{2}{a}[/mm]
> [mm]x_{E2}=a-\bruch{2}{a}[/mm]
>
> Mit Hilfe der Hinreichenden bedingung ergibt sich:
> [mm]f''_a(x_{E1})=\left\{\begin{matrix}
>0, & \mbox{wenn }a>0 \\
<0, & \mbox{wenn }a<0
\end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix}
\mbox{rel. Mininmum} & \\
\mbox{rel. Maximum} &
\end{matrix}\right.[/mm]
>
>
> [mm]f''_a(x_{E2})=\left\{\begin{matrix}
>0, & \mbox{wenn }a<0 \\
<0, & \mbox{wenn }a>0
\end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix}
\mbox{rel. Mininmum} & \\
\mbox{rel. Maximum} &
\end{matrix}\right.[/mm]
>
>
> Daraus erbibt sich schon, dass es für a > 0 und a < 0
> zwei
> verschiedene Ortskurven gibt.
> Wählt man nun zuerst die Ortskurve der relativen Maxima
> für a < 0
> so muss man [mm]x_{E1}=a+\bruch{2}{a}[/mm] nach a auflösen.
>
> Tut man dass, so ergibt sich eine quadratische Gleichung
> die man m.H. der Diskriminatenformel (p-q-Formal)
> auflöst,
Ich erhalte (hoffentlich ohne Fehler  )
[mm]x = \bruch {a^2+2}{a}[/mm]
[mm] $a^2-ax+2=0 \Rightarrow [/mm] a = [mm] \bruch{x \pm \wurzel{x^2-8}}{2}$
[/mm]
Die Ausdrücke sind jedenfalls nur definiert, wenn [mm] $x^2>8$ [/mm] gilt, weil sonst die Wurzel nicht definiert ist, also [mm] $|x|>\wurzel{8}$.
[/mm]
Nach wie vor soll aber gelten: a<0, und darauf musst du jetzt die beiden Lösungen hin untersuchen:
$a<0 [mm] \Rightarrow [/mm] a = [mm] \bruch{x \pm \wurzel{x^2-8}}{2}<0 [/mm] $
[mm] $\Rightarrow [/mm] x [mm] \pm \wurzel{x^2-8}<0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] x + [mm] \wurzel{x^2-8}<0 \vee [/mm] x - [mm] \wurzel{x^2-8}<0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] x < - [mm] \wurzel{x^2-8} \vee [/mm] x < [mm] \wurzel{x^2-8}$
[/mm]
Für welche x gilt der eine oder der andere Ausdruck?
Es ist zu spät. Aber vielleicht macht ein anderer weiter?
![[saumuede]](/images/smileys/saumuede.gif "[saumuede]")
> und nun die beiden Werte für a in die
> Ausgangsgleichung
> anstelle von a einsetzt.
>
> Daraus ergeben sich zwei Ortskurven der rel. Maxima für a <
> 0.
> Ich habe die beiden Kurven mal in einen Funktionsplotter
> eingegeben und
> habe daraufhin herausgefunden, dass für einen bestimmten
> wert x<a<0
> die Maxima auf einer der Kurven liegen und für a<x<0 die
> Maxima auf der Anderen liegen.
>
> Mein Problem ist jetzt, wie ich rechnerisch herausbekomme,
> bei für welches a
> das Maximum auf der einen bzw. auf der anderne Kurve
> liegt.
>
> Danke für die Hilfe
>
> Gruß MEP
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 So 31.10.2004 | | Autor: | MeP |
Hallo informix,
ich verstehe nicht ganz was du bezwecken willst, wenn du den Term der
Diskriminantenformel daraufhin untersuchen willst für welches x , a < 0 oder
a > 0 ist.
Zumal ja meine Frage war,
> Ich habe die beiden Kurven mal in einen Funktionsplotter
> eingegeben und
> habe daraufhin herausgefunden, dass für einen bestimmten
> wert x<a<0
> die Maxima auf einer der Kurven liegen und für a<x<0 die
> Maxima auf der Anderen liegen.
>
> Mein Problem ist jetzt, wie ich rechnerisch herausbekomme,
> bei für welches a
> das Maximum auf der einen bzw. auf der anderne Kurve
> liegt.
d.H. in diesem Teil der Untersuchung ist immer a < 0...
Außerdem würde sich, wenn ich deine Ungleichung mal weiter rechne, folgende ergeben:
[mm]\Rightarrow x < - \wurzel{x^2-8} \vee x < \wurzel{x^2-8}[/mm]
Für [mm]a_1[/mm]:
[mm]\Rightarrow x < - \wurzel{x^2-8} [/mm] | [mm]\uparrow^2[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm] x^2 < x^2-8 [/mm] | [mm]-x^2[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm] 0 < -8 [/mm] [mm]f. Aussage![/mm]
Also entweder ich verstehe garnicht was du meinst oder du hast da einen Fehler gemacht.
Gruß MeP
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Hallo!
Ich starte noch mal an einer etwas anderen Stelle. Bisher wurde ja noch gar nicht der $y$-Wert der Extremstelle miteinbezogen. Wenn man das berücksichtigt, ergibt sich
[mm]y(x)=(4a=)2\left(x\pm\sqrt{x^2-8}\right).[/mm]
Damit aber tatsächlich [mm] $y\left(a+\frac{2}{a}\right)=4a$ [/mm] herauskommt, sollte man sich das mal genauer anschauen.
[mm]y\left(a+\frac{2}{a}\right)=2\left(a+\frac{2}{a}\pm\sqrt{\left(a+\frac{2}{a}\right)^2-8}\right)
=2\left(a+\frac{2}{a}\pm\sqrt{a^2+\frac{4}{a^2}-4}\right)[/mm]
[mm]=2\left(a+\frac{2}{a}\pm\sqrt{\left(a-\frac{2}{a}\right)^2}[/mm]
Für [mm] $a>\frac{2}{a}$ [/mm] (wegen $a<0$ gleichbedeutend ist mit [mm] $a^2<2$) [/mm] sollte von [mm] $\pm$ [/mm] das + gewählt werden und für [mm] $a^2>2$ [/mm] das -. Ich hoffe, das haut mit Deiner Grafik hin, und ich habe mich nicht verrechnet oder vertippt (Vorschau funktioniert gerade nicht :-().
Gruß
Brigitte
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
