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Gegeben sei die Funktionenschar fk(x) = k * ( x³ - x² - 6x) k > 0
Ermitteln sie die Ortskurve auf der die lokalen Hochpunkte bzw die lokalen Tiefpunkte von fk liegen.
Ableitungen:
fk' (x) = 3kx² - 2x - 6k
fk'' (x) = 6kx - 2k
fk''' (x) = 6k
Angebliche Lösung:
Ortskurve der Tiefpunkte: x= [mm] \bruch{1}{3} +\wurzel{19/9}
[/mm]
Ortskurve der Hochpunkte: x= [mm] \bruch{1}{3} -\wurzel{19/9}
[/mm]
Würde ja heißen, das es keine Kurve sondern eine Gerade wäre.
Nun meine Frage: Wie berechne ich allgemein die Ortskurve und stimmen die Lösungen.
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Hi, Seb,
> Gegeben sei die Funktionenschar fk(x) = k * ( x³ - x² - 6x)
> k > 0
>
> Ermitteln sie die Ortskurve auf der die lokalen Hochpunkte
> bzw die lokalen Tiefpunkte von fk liegen.
>
> Ableitungen:
> fk' (x) = 3kx² - 2x - 6k
Schreibfehler: "-2kx"; sonst OK!
> fk'' (x) = 6kx - 2k
> fk''' (x) = 6k
f'''(x) ist für die Hoch- bzw. Tiefpunkte überflüssig!
>
> Angebliche Lösung:
> Ortskurve der Tiefpunkte: x= [mm]\bruch{1}{3} +\wurzel{19/9}
[/mm]
>
> Ortskurve der Hochpunkte: x= [mm]\bruch{1}{3} -\wurzel{19/9}
[/mm]
>
>
> Würde ja heißen, das es keine Kurve sondern eine Gerade
> wäre.
>
> Nun meine Frage: Wie berechne ich allgemein die Ortskurve
> und stimmen die Lösungen.
>
Also: Erstmal musst Du die Extrempunkte selbst berechnen!
f'(x) = 0 ergibt (gekürzt): [mm] x_{1/2}=\bruch{1 \pm \wurzel{19}}{3}
[/mm]
wobei (leicht nachzuvollziehen) für k>0 bei [mm] x_{1} [/mm] ("+" vor der Wurzel) der Tiefpunkt, bei [mm] x_{2} [/mm] der Hochpunkt liegt.
D.H. alle Tiefpunkte haben (unabhängig von k) dieselbe x-Koordinate, alle Hochpunkte zwar eine andere als die Tiefpunkte, aber untereinander wieder dieselbe.
D.h.: Die beiden gesuchten Ortskurven sind auf jeden Fall senkrechte Linien. (Auch eine solche kann man als "Kurve" auffassen!)
Nun muss man allerdings noch schauen, ob jeweils eine ganze Gerade rauskommt:
In f(x) einsetzen und schauen, welche Intervalle sich bestimmen lassen.
Das rechne ich jetzt aber nicht aus. Wegen der 3 Nullstellen von f(x) (nämlich: -2; 0; 3), vermute ich, dass für die Tiefpunkte gilt: y<0, für die Hochpunkte: y>0, also sind's in beiden Fällen Halbgeraden, einmal nach unten, einmal nach oben.
mfG!
Zwerglein
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Der Hochpunkt lautet H( [mm] \bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \wurzel{19/9}/ [/mm] k( [mm] -\bruch{56}{27} [/mm] + [mm] \bruch{38}{9} \wurzel{19/9}
[/mm]
Der Tiefpunkt lautet T( [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \wurzel{19/9}/ [/mm] k( [mm] -\bruch{56}{27} [/mm] - [mm] \bruch{38}{9} \wurzel{19/9}
[/mm]
wenn ich mich nicht verrechnet habe.
Doch ich verstehe immer noch nicht, wie ich die Ortskurve berechnen muss.
Gibt es dafür eine allgemeine Formel? Wie bei der Wendetangente?
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Hi, Seb,
naja: Es ist natürlich völlig untypisch, dass die x-Koordinate konstant ist.
(Aber das Ergebnis stimmt und meine Vermutung bezüglich y>0, y<0 auch, wie Du an den y-Koordinaten der Punkte siehst, denn für k>0 ist die obere y-Koordinate immer >0, die untere <0)
Normalerweise kommt bei solchen Aufgaben raus, dass sowohl x-Koordinate als auch y-Koordinaten vom Parameter (hier k) abhängen.
Ich mach mal ein (völlig willkürliches!) Beispiel:
x=2k+1
y= [mm] k^{2}+3
[/mm]
Dann gehst Du so vor: Löse die erste Gleichung nach k auf
(2k = x-1 oder: [mm] k=\bruch{1}{2}*(x-1))
[/mm]
und setze dieses in die 2. Gleichung ein:
y= [mm] (\bruch{1}{2}*(x-1))^{2} [/mm] + 3
Ausmultiplizieren und umformen kannst Du's ja selbst!
mfG!
Zwerglein
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Wenn ich das richtig verstanden habe, Löse ich den X-Wert des Hoch-/Tiefpunktes nach k auf, setzte k dann in Y-Wert des Hoch-/Tiefpunktes ein
und schon hab ich die wunderschöne Ortskurve.
Brauche also für berechnung der Ortskurve immer die Funktionswerte.
Gut danke hast mir sehr geholfen. Dann hoffe ich mal, das ich es Morgen in der Vor-Abi Klausur kann.
Mfg Seb
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Do 10.03.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Seb,
aber pass' immer auch auf die Parametergrundmenge auf, weil sich daraus die Definitionsmenge der Ortskurve ableiten lässt!
Wäre z.B. in meinem Beispiel k>0 vorgegeben gewesen, so müsstest Du daraus ableiten: x>1.
Ansonsten: Viel Erfolg morgen!
Toi toi toi!
Zwerglein
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