Orthonormalisierung2x2Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:58 Di 06.09.2011 | | Autor: | KENAN76 |
hallo,
ich habe 3 2x2 matrizen gegeben.
mit hilfe des gram-schmidt-verfahrens soll ich sie orthonormalisieren.
bis jetzt hatten wir immer nX1 Matrizen. ich weiß nicht wie ich mit der 2x2 matrix beim orthonormalisieren umgehen soll.was passiert wenn ich v1 normiere?
dann kommt ja eigentlich (1/II2x2MatrixII)mal 2x2-Matrix oder?
und wenn das stimmt muss ich dann eine 2x2 matrix durch eine 2x2-matrix teilen. wie würde dass funktionieren?
danke im voraus
mfg
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> hallo,
> ich habe 3 2x2 matrizen gegeben.
> mit hilfe des gram-schmidt-verfahrens soll ich sie
> orthonormalisieren.
Hallo,
Deine Aufgabe spielt im Vektorraum der [mm] 2\times [/mm] 2-Matrizen.
Die Vektoren sind hier also Matrizen.
Es wird ein Skalarprodukt für diesen Vektorraum angegeben sein - ohne Skalarprodukt hätte ja das Reden über "orthogonal" keinen Sinn.
Ich rate mal: das zu verwendende Skalarprodukt ist <X,Y>:=spur(X^TY). Richtig?
Seien A,B,C Deine Matrizen.
Ich beziehe mich auf ![[]](/images/popup.gif) diesen Algorithmus.
Damit es etwas leichter wird, kannst Du die Matrizen umtaufen:
[mm] w_1:=A, w_2:=B, w_3:=C.
[/mm]
Nun geht es los.
Es ist [mm] v_1 [/mm] = [mm] \frac{w_1}{\left\|w_1\right\|} =\bruch{A}{\wurzel{}}=\bruch{1}{\wurzel{spur(A^TA)}}A.
[/mm]
Weiter mit [mm] v_2:
[/mm]
[mm] v_2'= w_2 [/mm] - [mm] \langle v_1, w_2 \rangle \cdot v_1 [/mm]
[mm] =B-<\bruch{1}{\wurzel{spur(A^TA)}}A,B>*\bruch{1}{\wurzel{spur(A^TA)}}A
[/mm]
[mm] =B-\bruch{1}{spur(A^TA)}A [/mm]
Nun normieren ergibt [mm] v_2.
[/mm]
usw.
Am besten machst Du das nun mal konkret mit Deinen Matrizen.
(Vergiß nicht zu schauen, wie Dein Skalarprodukt definiert ist.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Mi 07.09.2011 | | Autor: | KENAN76 |
> Ich rate mal: das zu verwendende Skalarprodukt ist
> <X,Y>:=spur(X^TY). Richtig?
Hellseher :)
vielen dank für die tolle erklärung. ich habe das prinzip endlich verstanden:)
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