Orthonormalbasis, abhängig < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:34 Di 16.10.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei V ein endlich dimensionaler Euklidischer Vektorraum, E [mm] \subseteq [/mm] V ein 2 dimensionaler orientierter Teilraum und [mm] \nu \in\IR. [/mm] Wieters sei [mm] b_1 [/mm] , [mm] b_2 [/mm] eine positiv orientierte Orthonormalbasis von E . WIr ergänzen zu einer Orthonormalbasis [mm] B=(b_1 [/mm] , [mm] b_2 [/mm] , [mm] b_3 ,..,b_n) [/mm] von V und defenieren eine lineare Abbildung
[mm] \alpha^\nu_E [/mm] : V-> V durch [mm] [\alpha^\nu_E]_{BB} [/mm] := [mm] \pmat{ cos \nu & - sin \nu & \\ sin \nu & cos \nu&\\&&I_{n-2} } [/mm] |
Hallo,
Das war ein Bsp in meinen Skriptum zu den orhhogonalen Abbildungen, dda ja [mm] \alpha^\nu_E [/mm] solch eine ist.
Nun wäre meine Frage dazu: Wie kann man zeigen, dass die Drehung [mm] \alpha^\nu_E [/mm] nicht von der Wahl der Orthonormalbasis B abhängt?
Es soll woll laut Tutor mit der Kommutativität von [mm] SO_2 [/mm] zusammenhängen?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:19 Di 16.10.2012 | | Autor: | hippias |
> Sei V ein endlich dimensionaler Euklidischer Vektorraum, E
> [mm]\subseteq[/mm] V ein 2 dimensionaler orientierter Teilraum und
> [mm]\nu \in\IR.[/mm] Wieters sei [mm]b_1[/mm] , [mm]b_2[/mm] eine positiv orientierte
> Orthonormalbasis von E . WIr ergänzen zu einer
> Orthonormalbasis [mm]B=(b_1[/mm] , [mm]b_2[/mm] , [mm]b_3 ,..,b_n)[/mm] von V und
> defenieren eine lineare Abbildung
> [mm]\alpha^\nu_E[/mm] : V-> V durch [mm][\alpha^\nu_E]_{BB}[/mm] := [mm]\pmat{ cos \nu & - sin \nu & \\ sin \nu & cos \nu&\\&&I_{n-2} }[/mm]
>
> Hallo,
> Das war ein Bsp in meinen Skriptum zu den orhhogonalen
> Abbildungen, dda ja [mm]\alpha^\nu_E[/mm] solch eine ist.
>
> Nun wäre meine Frage dazu: Wie kann man zeigen, dass die
> Drehung [mm]\alpha^\nu_E[/mm] nicht von der Wahl der
> Orthonormalbasis B abhängt?
Was genau moechtest Du denn zeigen, bzw. in welchen Sinne besteht hier eine Unabhaengigkeit?
>
> Es soll woll laut Tutor mit der Kommutativität von [mm]SO_2[/mm]
> zusammenhängen?
>
> LG
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 19:01 Fr 19.10.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo
Meine Frage steht doch da?
Ich möchte zeigen, dass die Drehung $ [mm] \alpha^\nu_E [/mm] $ nicht von der Wahl der Orthonormalbasis B abhängt. Ein Tipp von Tutor war, dass die Gruppe [mm] SO_2 [/mm] abelsch ist.
Ich habe leider keine AHnung wie ich das machen kann, deshalb wäre ich über tipps/Ansätze dankbar!!
Liebe Grüße
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> Hallo
> Meine Frage steht doch da?
> Ich möchte zeigen, dass die Drehung [mm]\alpha^\nu_E[/mm] nicht
> von der Wahl der Orthonormalbasis B abhängt.
Hallo,
ich vermute, mein Problem ist dasselbe wie hippias' Problem:
was soll "die Drehung hängt nicht von der Basis ab" bedeuten?
Der Winkel? Oder was? Ich kapiere das nicht.
LG Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Fr 19.10.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo
-> http://www.mat.univie.ac.at/~stefan/files/LA/LA.Skriptum.p.227-240.pdf
Im PDF seite 12, intern im SKript Seite 238
VII.4.4. Beispiel
Aufgabe:
-> http://www.mat.univie.ac.at/~stefan/files/LA/LA1.Aufgaben.104-122.pdf
Seite 3, Bsp 121
LG ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Fr 19.10.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Ist noch etwas unklar zu der Fragestellung?
Da ich mich selbst damit nicht so auskenne, dachte ich es ist besser auch gleich die Originalseiten zu verlinken...
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:10 Sa 20.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Sissile,
ja, das ganze ist nicht Dein Fehler. Im Skript steht (S. 238, interne Zählung):
> ...und definieren eine lineare Abbildung ...
> ...
> Es lässt sich zeigen, dass dies nicht von der Wahl der
> Orthonormalbasis abhängt,...
was ist dieses dies? Die Definition?
Man müßte hier echt mal nachfragen gehen, wie man diese
Unabhängigkeit, die wohl gemeint ist, richtig ausdrückt:
Egal, welche ONB's man vorliegen hat, die Wirkung der linearen Abbildung
auf einen Punkt in $V\,$ macht nur folgendes...
Denn generell könnte es doch folgendes sein: Ich habe meinen Vektorraum
$V\,,$ dort beschreibe ich nun alle Punkte durch ein fixes
Koordinatensystem - mein Bezugssystem.
Jetzt habe ich entsprechend der dort stehenden Vorgehensweisen einmal
eine ONB $B\,$ und, weil mir langweilig war, eine andere ONB $B'$ erzeugt.
Jetzt schreibe ich mir zwei ${p^\theta}_E$ hin: Einmal die gebildet mit
$B\,,$ und einmal die gebildet mit $B'\,,$ nennen wir sie mal
$$_B\;{p^\theta}_E$$
und
$${_{B'}\;p^\theta}_E\,.$$
Dann ist doch noch nicht klar, dass da auch die gleiche "Verdrehung" steht.
In dem Bezugssystem, wo wir uns nur angucken, wo ein Punkt vor
Anwendung der Funktion war und wo er dann durch die lineare Abbildung
"hinbewegt" wird (was weiß ich: Koordinatensystem des Beobachters, der
gar keine Ahnung hat, wie $_B\;{p^\theta}_E$ funktioniert, sondern
nur "vorher-nachher" Bilder sieht), sollte jeder Punkt, auf den die erste
Abbildung angewendet wird, das gleiche Ergebnis haben, wie wenn man
die zweite auf diesen anwendet.
Sowas ist oben sicher gemeint.
Und wie man das vielleicht ohne ein spezielles Bezugskoordinatensystem
nachrechnen/nachprüfen kann (also ohne ein drittes "Beobachter-Koordinatensystem"):
Man wird sicher mit einer geeigneten Koordinatentransformation die
Abbildung ${_{B'}\;p^\theta}_E$ bzgl. der ONB $B\,$ beschreiben
(man "beschreibt die Vektoren von $B'\,$ bzgl. $B$!) und es sollte dann
rauskommen, dass ${_{B'}\;p^\theta}_E$ und ${_{B}\;p^\theta}_E$ dann das gleiche tun - grob gesagt, wenn man das gleiche
$\theta$ natürlich festhält.
So, das wäre jedenfalls mal das, was ich mir hier vorstellen könnte, was
überhaupt gemeint sein kann: Man kann nämlich i.a. sehr viele ONBs eines
sochen endl. dim. Vektorraums angeben - auch der 2-dimensionale TR hat
sehr viele...
Und es könnte ja sein, dass $\;p^\theta}_E$ von $B\,$ abhängt, siehe
die definierende Bildungsvorschrift: Die Einheitsmatrix ist ja auch bzgl. der
entsprechenden Vektoren aus $B\,$ zu verstehen. (Generell kann man sich
nochmal genau angucken: Eine Matrix beschreibt ja eine lineare Abbildung
zwischen Vektorräumen - aber bzgl. einer Basis des Definitionsbereich-
Vektorraums und einer Basis des Zielbereich-Vektorraums - wenn wir die
mal so nennen wollen! Aber hier sind schonmal der Def.-VR und Zielb.-VR
gleich und auch die Basis bleibt bei beiden Bereichen die gleiche... aber
nur für die entsprechende Abbildung...)
Es ist also die Frage, ob man nicht $p^{\theta}_E$ eigentlich als
$_{B}\;{p^\theta}_E$ zu schreiben hätte, weil die Wahl der ONB sich
bei $p^{\theta}_E$ ja auswirken könnte. Obige Aussage ist, dass das
nicht der Fall ist...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 So 21.10.2012 | | Autor: | sissile |
Ich bin noch immer nicht drauf gekommen was die Unabhängigkeit mit der Kommutativität von [mm] SO_2 [/mm] zu tun hat..
Man soll also zeigen, daß die Drehung als lineare Abbildung nicht von der ONBasis abhängt, sofern diese Basis die Eigenschaft hat, dass ihre ersten beiden Elemente den Raum E aufspannen und beide gleich orientiert sind.
[mm] B=(b_1 [/mm] , [mm] b_2 [/mm] , [mm] b_3,...,b_n) [/mm] sei eine ONB von V
Ich nehme die Ergänzung anders vor B'= [mm] (b_1 [/mm] , [mm] b_2 [/mm] , [mm] a_3,...,a_n) [/mm] ebenfalls ONB von V
Dann sieht die Basiswechselmatrix von B nach B' folgendermaßen aus:
[mm] T_{B'B} =\pmat{ 1 & 0 &0_{1 \times n-2}\\0&1&0_{1\times n-2} \\0_{n-2 \times 1}&0_{n-2 \times 1}&A }
[/mm]
wobei A [mm] \in M_{n-2 \times n-2}
[/mm]
$ [mm] [\alpha^\nu_E]_{BB} [/mm] $ [mm] =(T_{B'B})^{-1} [/mm] $ [mm] [\alpha^\nu_E]_{B'B'} [/mm] $ [mm] T_{B'B} [/mm] = [mm] (\pmat{ 1 & 0 &0_{1 \times n-2}\\0&1&0_{1\times n-2} \\0_{n-2 \times 1}&0_{n-2 \times 1}&A })^{-1} [\alpha^\nu_E]_{B'B'} \pmat{ 1 & 0 &0_{1 \times n-2}\\0&1&0_{1\times n-2} \\0_{n-2 \times 1}&0_{n-2 \times 1}&A \}
[/mm]
Kann mir da vlt wer weiterhelfen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:35 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo sissile,
nur kurz, weil es zu spät ist:
> Ich bin noch immer nicht drauf gekommen was die
> Unabhängigkeit mit der Kommutativität von [mm]SO_2[/mm] zu tun
> hat..
> Man soll also zeigen, daß die Drehung als lineare
> Abbildung nicht von der ONBasis abhängt, sofern diese
> Basis die Eigenschaft hat, dass ihre ersten beiden Elemente
> den Raum E aufspannen und beide gleich orientiert sind.
>
> [mm]B=(b_1[/mm] , [mm]b_2[/mm] , [mm]b_3,...,b_n)[/mm] sei eine ONB von V
> Ich nehme die Ergänzung anders vor B'= [mm](b_1[/mm] , [mm]b_2[/mm] ,
> [mm]a_3,...,a_n)[/mm] ebenfalls ONB von V
na stop: Das ist dann doch uninteressant (das merkt man, wenn man
sich mal klarmacht, was die Aussage hier eigentlich anschaulich bedeutet).
Was hier eigemtlich das ist, was interessant ist, ist, wenn Du wirklich zwei
ONB [mm] $B\,$ [/mm] und [mm] $B\,'$ [/mm] von [mm] $V\,$ [/mm] hast - und dabei kannst Du annehmen,
dass [mm] $b_1,b_2$ [/mm] (aus [mm] $B\,$) [/mm] eben [mm] $E\,$ [/mm] aufspannen und dass auch
[mm] $b_1\,', b_2\,'$ [/mm] nun [mm] $E\,$ [/mm] aufspannen - dabei muss keineswegs
[mm] $b_1=b_1\,'$ [/mm] und [mm] $b_2=b_2\,'$ [/mm] gelten. Eben weil man [mm] $E\,$ [/mm] "auf mehrere
Arten" mit einer (2-elementigen) ONB versehen kann (okay - hier wird auch
noch eine Orientierungseigenschaft verlangt, aber auch dann gibt's viele
ONB, die das geforderte erfüllen), wird da dann sicher [mm] $SO_2$ [/mm] ins Spiel
kommen.
Wenn Du nur die gleiche ONB von [mm] $E\,$ [/mm] zu einer ONB von [mm] $V\,$ [/mm] ergänzt,
wird das ganze sicher langweilig... aber das steht doch auch nirgends,
dass man eine einzelne ONB von [mm] $E\,$ [/mm] stets festhält.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:45 Mo 22.10.2012 | | Autor: | sissile |
Supa, dann bin ich bei der aufgabe wieder bei 0..
Ich weiß nicht ob das was hilft, aber ich habe mir die Elemente in [mm] SO_2 [/mm] genauer angeschaut.
[mm] SO_2 [/mm] := [mm] \{ A \in O_2 : det(A)=1 \}
[/mm]
[mm] A=\pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
da A [mm] \in O_2 [/mm] gilt [mm] A^{-1}=A^t
[/mm]
det(A) = ad-bc=1
[mm] A^t [/mm] = [mm] \pmat{ a & c \\ b & d }= A^{-1} [/mm] = [mm] (det(A))^{-1} \pmat{ d & -b \\ -c & a }
[/mm]
Koeffizientenvergleich: a=d und c=-b
->det(A) = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2=1
[/mm]
[mm] SO_2 [/mm] = [mm] \{ \pmat{ a & b \\ -b & a } : a,b \in \IR , a^2 + b^2 =1 \}
[/mm]
Hilft mir das bei meinen Problem?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:31 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Supa, dann bin ich bei der aufgabe wieder bei 0..
warum? Man lernt doch aus allem, auch aus Fehlern oder Fehlinterpretationen.
Umsonst war hier doch bisher nichts, ich bin mir sicher, Du bist nicht die einzige, die
sich das so überlegt oder missverstanden hat!
> Ich weiß nicht ob das was hilft, aber ich habe mir die
> Elemente in [mm]SO_2[/mm] genauer angeschaut.
>
> [mm]SO_2[/mm] := [mm]\{ A \in O_2 : det(A)=1 \}[/mm]
> [mm]A=\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
>
> da A [mm]\in O_2[/mm] gilt [mm]A^{-1}=A^t[/mm]
> det(A) = ad-bc=1
>
> [mm]A^t[/mm] = [mm]\pmat{ a & c \\ b & d }= A^{-1}[/mm] = [mm](det(A))^{-1} \pmat{ d & -b \\ -c & a }[/mm]
>
> Koeffizientenvergleich: a=d und c=-b
> ->det(A) = [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2=1[/mm]
>
> [mm]SO_2[/mm] = [mm]\{ \pmat{ a & b \\ -b & a } : a,b \in \IR , a^2 + b^2 =1 \}[/mm]
>
> Hilft mir das bei meinen Problem?
ich habe mir bei Deiner Aufgabe halt noch wirklich so gar nicht aufgeschrieben, wie sie
zu lösen ist. Aber die obigen Überlegungen finde ich schon sinnvoll, denn schau' Dir
doch mal an, wie die linke obere $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix in $ [mm] \alpha^\nu_E [/mm] $ aussieht:
$$ [mm] \pmat{ \red{\cos \nu} & \red{- \sin \nu} & \\ \red{\sin \nu} & \red{\cos \nu}&\\&&I_{n-2} }$$
[/mm]
Das sieht doch nicht nach Zufall aus... oder?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:54 Di 23.10.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Morgen habe ich Uebung, bin gespannt, ob das wer von den höher semestrigen geschafft hat ;) und wie ..(weil in meinen Jahrgang hat es keiner den ich kenn)
lg
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 02:21 Fr 02.11.2012 | | Autor: | sissile |
Nun wie haben wir es gemacht:
Sei C = [mm] (c_1 ,c_2,..,c_n) [/mm] eine zweite ONB von V mit den selben Vorrausetzungen wie [mm] B=(b_1 [/mm] , [mm] b_2 [/mm] ,.., [mm] b_n)
[/mm]
Es gilt: $ [mm] [\alpha^\nu_E]_{CC} [/mm] $ = [mm] (M_{BC})^{-1}$ [\alpha^\nu_E]_{BB} M_{BC}$ [/mm]
[mm] M_{BC} [/mm] = [mm] \pmat{ \lambda_{11}& \lambda_{12}&&\\\lambda_{21} & \lambda_{22} &&&\\&&\lambda_{33}&..&\lambda_{3n}\\&& \vdots&&\vdots\\&&\lambda_{n3} & ..&\lambda_{nn} }= \pmat{ O_2& 0 \\ 0 & O_{n-2} }
[/mm]
Da [mm] M_{BC} [/mm] eine Blockmatrix ist und die zwei Blöcke zur orthogonalen Gruppe gehören ist [mm] M_{BC}^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ O_2^t& 0 \\ 0 & O_{n-2}^t }
[/mm]
Nun schon meine Fragen:
Wie zur Hölle kommt man auf die Gestalt von [mm] M_{BC} [/mm] ??
Und wie sieht man dass die beiden Blöcke zur orthogonalen Gruppe gehören???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Sa 03.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
ich kann gerade auch nur kurz drauf eingehen:
> Nun wie haben wir es gemacht:
>
> Sei C = [mm](c_1 ,c_2,..,c_n)[/mm] eine zweite ONB von V mit den
> selben Vorrausetzungen wie [mm]B=(b_1[/mm] , [mm]b_2[/mm] ,.., [mm]b_n)[/mm]
> Es gilt: [mm][\alpha^\nu_E]_{CC}[/mm] = [mm](M_{BC})^{-1}[/mm]
> [mm][\alpha^\nu_E]_{BB} M_{BC}[/mm]
>
> [mm]M_{BC}[/mm] = [mm]\pmat{ \lambda_{11}& \lambda_{12}&&\\\lambda_{21} & \lambda_{22} &&&\\&&\lambda_{33}&..&\lambda_{3n}\\&& \vdots&&\vdots\\&&\lambda_{n3} & ..&\lambda_{nn} }= \pmat{ O_2& 0 \\ 0 & O_{n-2} }[/mm]
>
> Da [mm]M_{BC}[/mm] eine Blockmatrix ist und die zwei Blöcke zur
> orthogonalen Gruppe gehören ist [mm]M_{BC}^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ O_2^t& 0 \\ 0 & O_{n-2}^t }[/mm]
>
> Nun schon meine Fragen:
> Wie zur Hölle kommt man auf die Gestalt von [mm]M_{BC}[/mm] ??
ich denke, dass kann man sich überlegen mit der Voraussetzung, dass
[mm] $c_1,c_2$ [/mm] eine positiv orientierte Basis des 2-dimensionalen Unterraums
[mm] $E\,,$ [/mm] bilden und ebenso [mm] $b_1,b_2\,.$ [/mm] Darüber nachzudenken hatte ich
aber bisher keine Zeit, aber versuch' halt mal, diese Eigenschaften formal
hinzuschreiben und zu gucken, ob sich dann die Darstellung der
Basisübergangsmatrix dann folgern läßt...
> Und wie sieht man dass die beiden Blöcke zur orthogonalen
> Gruppe gehören???
Na, wenn man die obige Darstellung für [mm] $M_{BC}$ [/mm] jetzt einfach mal
akzeptiert, dann ist das doch relativ klar, weil [mm] $B\,$ [/mm] eine ONB von
[mm] $V\,$ [/mm] und auch [mm] $C\,$ [/mm] eine ONB von [mm] $V\,$ [/mm] ist - auch hier sollte man sich
vielleicht nochmal klarmachen, wie Basisüberganzmatrizen "erstellt"
werden.
Das ganze sind aber nur grobe Hinweise - ich hoffe sogar, dass da kein
falscher drin ist. Denn momentan finde ich nicht die Zeit, mir das nochmal
selbst hinzuschreiben. Aber so "grob" ist jetzt vielleicht klarer, wie man
sich die Überlegungen klar machen kann. Ich finde aber auch, dass der-/
diejenige, die das da hingeschrieben hat, ruhig mehr dazu hätte sagen
sollen. Wenn's gar nicht klar wird, gehe vielleicht doch mal zu derjenigen
Person und lass' Dir das erklären. Sie müßte es ja eigentlich detailliert
begründen können, was sie da tut/tat...
P.S. Ich lasse die Frage mal auf halb beantwortet, dann kann jmd. anderes
sich das nochmal angucken, ob ich überhaupt mit meinen Ideen richtig liege,
und es ggf. ergänzen bzw. korrigieren ^^
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:20 So 04.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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