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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:25 So 02.01.2005 | | Autor: | StSch47 |
Ich habe eine Aufgabe, die ich einfach nicht gelöst bekomme:
Wir befinden uns im Vektorraum [mm] \IR [/mm] der Polynome vom Grad höchstens 2,
Das Skalarprodukt ist definiert durch:
<. , .> := [mm] \integral_{0}^{1}{p(x)q(x) dx} [/mm] , für p, q [mm] \in \IR [/mm] der Polynome höchstens 2
Gegeben ist weiterhin die Basis B := {p1,p2,p3} mit p1(x) := x-1 , p2(x) := x+1 und p3(x) := [mm] x^{2}-x [/mm] , x [mm] \in \IR
[/mm]
Gesucht ist nun eine Orthonormalbasis B0 := {b1,b2,b3} ebenfalls [mm] \in \IR [/mm] der Polynome höchstens Grad 2
ich habe nun 2 verschiedene Ansätze, bei beidem komme ich im Aufgabenteil b nicht weiter:
"Überprüfen Sie durch Nachrechnen die paarweise Orthogonalität der von Ihnen errechneten Vektoren b1; b2 und b3"
Ansatz1: Gram-Schmidt, ||x|| := [mm] \wurzel{x^{2}}
[/mm]
b1= [mm] \bruch{p1(x)}{||p1||} [/mm] = [mm] \bruch{x-1}{|x-1|} [/mm] = {1;-1}
für b2 und b3 erhalte ich nach dieser Rechnung ebenfalls 1 oder -1
Prüfen auf Orthogonalität ( <b1,b2> = 0 ) ergibt dann natürlich ein Falsches Ergebnis.
Ansatz2: Gram-Schmidt, [mm] ||x||^{2} [/mm] := <x,x>
[mm] ||p1||^{2} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{p1(x)p1(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{(x-1)^{2} dx} [/mm] ... = > ||p1|| = [mm] \wurzel{ \bruch{1}{3} }
[/mm]
daraus folgt:
b1 = [mm] \bruch{x-1}{\wurzel{ \bruch{1}{3} }} [/mm] = [mm] \wurzel{3}(x-1)
[/mm]
nach diesem Schema ist:
b2 = [mm] \bruch{ \wurzel{2} (3x-1) }{2}
[/mm]
und auch hier ergibt die Orthogonalitätsprüfung nicht 0.
jetzt bin ich wirklich mit meinem Latein am Ende....
die 2te Methode habe ich nun schon mehrmals gerechnet, konnte auch immer wieder Fehler ausmerzen, aber diese Version ist meine letzte und ergibt auch die "schönsten" Ergebnisse (jaja, Tutoren und Assistenten sind auch bequeme Menschen) ....
kann jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 23:58 So 02.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
ich kann dich auf jeden fall schon mal bestärken, dass dein zweiter ansatz richtig ist. hat man nämlich einen raum mit skalarprodukt, so redet man dort i.a. von der von diesem skalarprodukt induzierten norm! ich nehme mal an, dass der raum bei euch nicht [m] \mathbb{R} [/m] heißt, sondern irgendwie anders, denn das würde wohl sonst zu massiven verwechslunegn mit den reelen zahlen führen!
mal sehen, ob das mit dem rechen nun auch klappt.
nach gramm-schmidt erhälte ich für [m] \| p_1 \| = \sqrt{ \left> p_1, p_1 \right> } = \left( \int_0^1 x^2 - 2x + 1 \, \textrm{d} x \right)^\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{1}{3}} [/m], also [m] b_1(x) = \sqrt{3}(x-1) [/m] - soweit also nichts neues!
desweitern erhalte ich [m] \left< b_1, p_2 \right> = \int_0^1 \sqrt{3}(x-1)(x+1) \, \textrm{d}x = -\sqrt{3}\frac{2}{3} = - \frac{2}{\sqrt{3}} [/m]. dann ergibt sich als - noch nicht normierter - zweite basisfunktion [m] \tilde{b}_2(x) = p_2(x) - \left b_1(x) = (x+1) + \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{3}(x-1) = 3x - 1 [/m].
als norm davon erhalte ich [m] \| \tilde{b}_2 \| = \sqrt{ \left< \tilde{b}_2, \tilde{b}_2 \right>} = \left( \int_0^1 (3x - 1)^2 \, \textrm{d}x \right)^\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{1}{2}} [/m], also [m] b_2(x) = \frac{\tilde{b}_2(x)}{\|\tilde{b}_2 \|} = \frac{3x - 1}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2}(3x - 1) [/m]. damit erhalte ich dann aber auch [m] \left< b_1, b_2 \right> = \int_0^1 \sqrt{3}(x-1)\sqrt{2}(3x-1) \, \textrm{d} x = \sqrt{6} \int_0^1 (x-1)(3x-1) \, \textrm{d} x = \sqrt{6} \cdot 0 = 0 [/m] also [m] b_1 \bot b_2 [/m] und damit das gewünschte. mich wundert aber, das du das nicht erhälst, selbst wenn die letzte normierung bei dir schief gegangen ist, sollten die funktionen dennoch senkrecht aufeinander stehen - die normierung ist ja nur ein längen, aber kein richtungsfaktor. oder anders ausgedrückt: ein konstanter faktor vor dem integral stört nicht, wenn selbiges null ist. probiere einfach nochmal dein glück oder poste mal deinen ganzen rechenweg, dann kann man mal nach rechenfehler suchen.
falls du noch mehr über gram-schmidt wissen willst schaue am besten bei ![[]](/images/popup.gif) wikipedia
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:24 Mo 03.01.2005 | | Autor: | StSch47 |
erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ich hab mir schon gedacht, das es entweder nur ein Rechenfehler oder ein völlig falscher Ansatz ist. Es war der Rechenfehler.
b1 hab ich ja genau wie oben beschrieben.
bei b2 ist mir bei der Normierung ein Rechenfehler unterlaufen, statt [mm] \wurzel{ \bruch {1}{2} } [/mm] steht bei mir (in meinen Aufzeichnungen, schreckliche Ordnung) "nur" [mm] \wurzel{2} [/mm] . Leider kann ich den Rechenweg, vom Integral zur Norm nicht mehr finden, aber dort muss der Fehler liegen.
Zur Vollständigkeit fehlt also noch b3 , aber dazu ist es jetzt leider zu spät. Wird morgen... äh heute nachgereicht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Mo 03.01.2005 | | Autor: | StSch47 |
So, ich habe mal weiter gerechnet und bin für b3 immer wieder auf ein weiteres Problem gestoßen.
Ich erhalte zwar eine Lösung für b3, aber beim Prüfen auf Orthogonalität kam es zu Problemen:
<b1,b2> = 0
<b1,b3> = 0
<b2,b3> [mm] \not= [/mm] 0 !
Weitere Neu-Anläufe haben auch nichts gebracht, also hab ich mal alles Schritt-für-Schritt in den Rechner eingegeben ( Maple 9.5 )
und siehe da: ein Fehler :)
> als norm davon erhalte ich [m]\| \tilde{b}_2 \| = \sqrt{ \left< \tilde{b}_2, \tilde{b}_2 \right>} = \left( \int_0^1 (3x - 1)^2 \, \textrm{d}x \right)^\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{1}{2}} [/m],
Dank Maple weiß ich nun, das
[m]\| \tilde{b}_2 \| = \sqrt{ \left< \tilde{b}_2, \tilde{b}_2 \right>} = \left( \int_0^1 (3x - 1)^2 \, \textrm{d}x \right)^\frac{1}{2} = 1 [/m]
Code: [mm] sqrt(int((3*x-1)^2,x=0..1)); [/mm]
In deiner Rechnung hast du (wahrscheinlich) das Quadrat innerhalb des Integrals vergessen. Denn ohne das würde [mm] \wurzel{1/2} [/mm] wieder stimmen.
Kurioserweise ergibt die Probe auch mit dem Falschen Ergebnis eine wahre Aussage, nur eben nicht für die Orthogonalität von b2 auf b3.
Für Interessenten mein (endgültiges) Ergebnis:
b1 wie oben
b2 = (3x-1)
daraus folgt
b3 = [mm] 6*(x^2-x+1/6)*\wurzel{5}
[/mm]
Trotzdem Danke für den Anstoss... normalerweise gebe ich der Aufgabenstellung die Schuld und lass es einfach bleiben :)
(Bei Interesse schreibe ich meinen Lösungsweg gern nochmal sauber ab, dauert nur etwas, bin mit dem Formelsystem hier noch nicht vertraut. => email an mich bitte )
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