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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Mo 18.04.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, an alle!
Hier ist eine Aufgabe, die ich (leider) nur zum Teil lösen konnte. Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen. Danke!
Aufgabe:
Gegeben sei für a, b [mm] \in \IR^{3} [/mm] mit [mm] a=\vektor{a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}}, b=vektor{b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}} [/mm] das innere Produkt
d: [mm] \IR^{3} \times \IR^{3} \to \IR,
[/mm]
(*) d(a,b) = [mm] a_{1}b_{1} [/mm] + 3 [mm] a_{2}b_{2} [/mm] + 4 [mm] a_{3}b_{3} [/mm] + [mm] a_{1}b_{2} [/mm] + [mm] a_{2}b_{1} [/mm] + [mm] a_{1}b_{3} [/mm] + [mm] a_{3}b_{1} [/mm] + [mm] a_{2}b_{3} [/mm] + [mm] a_{3}b_{2}
[/mm]
Teilaufgabe (a): Zeige, dass d ein euklidisches Skalarprodukt ist.
Da habe ich halt die 3 Punkte bewiesen, ich weiß aber nicht, ob sie so stimmen.
(i) d bilinear
d( [mm] \alpha [/mm] a + [mm] \beta [/mm] b , c) = [mm] \alpha [/mm] d(a,c) + [mm] \beta [/mm] d(b,c)
mit c = [mm] \vektor{c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3}} [/mm] und
[mm] \alpha [/mm] a + [mm] \beta [/mm] b = [mm] \vektor{\alpha a_{1} + \beta b_{1} \\ \alpha a_{2} + \beta b_{2} \\ \alpha a_{3} + \beta b_{3}} [/mm] .
d( [mm] \alpha [/mm] a + [mm] \beta [/mm] b , c) = [mm] (\alpha a_{1} [/mm] + [mm] \beta b_{1}) c_{1} [/mm] + 3 [mm] (\alpha a_{2} [/mm] + [mm] \beta b_{2}) c_{2} [/mm] + ... (nach Definition von d (*))
Am Ende kommt dann tatsächlich auch d( [mm] \alpha [/mm] a + [mm] \beta [/mm] b , c) = [mm] \alpha [/mm] d(a,c) + [mm] \beta [/mm] d(b,c) raus.
Analog beweisen für d(a, [mm] \alpha [/mm] b + [mm] \beta [/mm] c) = [mm] \alpha [/mm] d(a,b) + [mm] \beta [/mm] d(a,c).
(ii) Symmetrie: d(a,b) = d(b,a)
Hier wieder nach (*) einsetzen, womit die Symmetrie nun gezeigt wird.
(iii) d positiv definit: d(a,a) > 0 falls a [mm] \not= [/mm] 0.
Das heißt doch, falls a nicht der Nullvektor ist, also:
d(a,a) = [mm] (a_{1})^{2} [/mm] + 3 [mm] (a_{2})^{2} [/mm] + 4 [mm] (a_{3})^{2} [/mm] + [mm] 2(a_{1}a_{2} [/mm] + [mm] a_{1}a_{3} [/mm] + [mm] a_{2}a_{3})
[/mm]
Die ersten drei Terme, also die Terme mit Quadrat, sind auf jeden Fall größer Null, wenn a nicht der Nullvektor ist. Aber wie zeige ich hier, dass auch die restlichen Terme größer 0 bzw. dass d(a,a) größer Null ist?
Teilaufgabe (b):
Bestimme bzgl. dieses Skalarpordukts eine Orthonormalbasis für den Unterraum U [mm] \subseteq \IR^{3},
[/mm]
U = [mm] \IR \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \IR \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm]
In der Vorlesung haben wir definiert:
Sei ( [mm] \IR [/mm] ^{3}, d) ein euklidischer Vektorraum.
[mm] (e_{i})_(i \in [/mm] I) sei eine Familie von Vektoren aus [mm] \IR [/mm] ^{3}.
[mm] (e_{i})_(i \in [/mm] I) heißt Orthonormalbasis, wenn gilt:
[mm] d(e_{i},e_{j}) [/mm] = 0 falls i [mm] \not= [/mm] j ; i,j [mm] \in [/mm] I
[mm] d(e_{i},e_{i}) [/mm] = 1 falls i [mm] \in [/mm] I
[mm] (e_{i})_(i \in [/mm] I) heißt Orthonormalbasis von [mm] \IR [/mm] ^{3}, wenn zusätzlich gilt:
[mm] (e_{i})_(i \in [/mm] I) ist Basis von V.
Hier weiß ich nicht genau, wie ich eine ONB für den Unterraum U bestimmen soll.
Wenn ich [mm] d(e_{i},e_{j}) [/mm] = 0 setze, stimmt das ja nicht. Hier ist meine Voraussetzung nicht erfüllt, weil wenn ich [mm] d(e_{i},e_{j}) [/mm] nach (*) auflöse, kommt 1 raus und nicht Null.
Stimmt meine Lösung von Teil a? Und wie mache ich Teil b?
ich hoffe, ihr könnt mich aufklären. Danke!
VHN
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Crispy |
Hallo,
bei Teil a habe ich das gleiche heraus. Dein Beweis ist also richtig.
Man kann dies auch mit der Matrix
D = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 4 } [/mm] und
[mm] a^T [/mm] * D * b beweisen.
Dass D positiv definit und symmetrisch ist. Genauso kann man zeigen, dass d billinear ist.
Zur zweiten Teilaufgabe habe ich selsbt auch noch keine Idee.
Gruss, Crispy
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Hallo!
Um die ONB zu finden machst du folgendes:
Du nimmst eine Basis von $U$ und orthonormalisierst sie. Dazu habt ihr bestimmt das Gram-Schmidt-Verfahren durchgenommen.
Also: Was ist die Idee?
Du hast eine beliebige Basis von $U$, sagen wir [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$. [/mm]
Zuerst nomierst du [mm] $v_1$ [/mm] auf $1$: [mm] $u_1:=v_1/\|v_1\|$. [/mm] Dabei ist [mm] $\|v_1\|:=\sqrt{d(v_1;v_1)}$.
[/mm]
Dadurch ist jetzt [mm] $d(u_1;u_1)=1$.
[/mm]
Jetzt setzt du [mm] $\tilde{u}_2:=v_2-d(v_2,u_1)*u_1$.
[/mm]
[mm] $\tilde{u}_2$ [/mm] ist bereits orthogonal zu [mm] $u_1$! [/mm] Warum?
[mm] $d(\tilde{u}_2;u_1)=d(v_2;u_1)-d(v_2,u_1)*\underbrace{d(u_1;u_1)}_{=1}$.
[/mm]
Jetzt musst du nur noch [mm] $u_2:=\tilde{u}_2/\|\tilde{u}_2\|$ [/mm] setzen, und bist fertig...
Hilft dir das ein bisschen weiter?
Gruß, banachella
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:05 Do 21.04.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, banachella!
Danke für deine Antwort!
Ja, wir haben das Schmidt-Verfahren besprochen, allerdings hab ich es da nicht so verstanden.
Ich hab jetzt nach deiner Anleitung das alles gemacht, und bin dann auf folgendes gekommen.
Ich habe für [mm] u_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] rausbekommen. Stimmt das?
Hier soll u* dasselbe sein wie dein u(tilde). Ist kürzer zu schreiben. 
[mm] \parallel u_{2}* \parallel [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} \wurzel{30} [/mm]
[mm] u_{2}* [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} \vektor{5 \\ -1 \\ 2} [/mm]
Also [mm] u_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{30}} \vektor{5 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
Stimmen meine werte alle? soweit ich verstanden habe, sind also [mm] u_{1} [/mm] und [mm] u_{2} [/mm] die Orthonormalbasisvektoren, oder?
Kannst du mir bitte noch verraten, wie du drauf kommst, das so zu setzen:
[mm] u_{2}* [/mm] = [mm] v_{2} [/mm] - [mm] d(v_{2},u_{2}) u_{1}
[/mm]
Vielen Dank!
VHN
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Crispy |
> Hallo, banachella!
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> Danke für deine Antwort!
> Ja, wir haben das Schmidt-Verfahren besprochen, allerdings
> hab ich es da nicht so verstanden.
> Ich hab jetzt nach deiner Anleitung das alles gemacht, und
> bin dann auf folgendes gekommen.
> Ich habe für [mm]u_{1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}} \vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> rausbekommen. Stimmt das?
Ich glaube nicht ganz, denn das Skalarprosukt ist ja nun anders definiert. Nämlich mit diesem [mm]d(a,b)[/mm]. Da käme dann [mm] \wurzel{14} [/mm] als [mm] d(v_1,v_1) [/mm] heraus.
Gruss, Crispy
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