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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Mo 16.02.2009 | | Autor: | pawlow |
| Aufgabe | Gegeben sind die reellen Vektoren
[mm] $a:=\pmat{2\\-1\\2}~$, $b:=\pmat{2\\-1\\2}$ [/mm] und [mm] $c:=\pmat{2\\-1\\2}$.
[/mm]
(a) Bestimmen Sie die Norm von a, die Norm von b, und die Skalarprodukte ab, ac und bc.
(b) Bestimmen Sie die orthogonale Projektion von c in den von a und b aufgespannten Untervektorraum $U$.
(c) Stellen Sie c als Summe eines Vektors aus $U$ und eines Vektors aus [mm] $U^\bot$ [/mm] dar. Ergänzen Sie $(a, b)$ zu einer Orthogonalbasis des [mm] $\IR^3$. [/mm] |
Hallo!
Leider sind meine Aufzeichnungen lückenhaft. Jetzt bin ich auf diese Aufgabe gestoßen. Ich konnte alles ohne Probleme lösen bis auf die (c). Dort fehlt mit das Wissen, was [mm] $U^\bot$ [/mm] sein soll. Ein Unterraum, der zu $U$ orthogonal ist?
Das "Ergänzen Sie $(a, b)$ zu einer Orthogonalbasis des [mm] $\IR^3$" [/mm] schaffe ich mit dem Gram-Schmidtschen Verfahren.
wie ist aber der erste Teil der Teilaufgabe (c) zu lösen?
Danke für Eure Hilfe!!!
Liebe Grüße
~ pawlow
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> Gegeben sind die reellen Vektoren
> [mm]a:=\pmat{2\\-1\\2}~[/mm], [mm]b:=\pmat{2\\-1\\2}[/mm] und [mm]c:=\pmat{2\\-1\\2}[/mm].
>
> (a) Bestimmen Sie die Norm von a, die Norm von b, und die
> Skalarprodukte ab, ac und bc.
> (b) Bestimmen Sie die orthogonale Projektion von c in den
> von a und b aufgespannten Untervektorraum [mm]U[/mm].
> (c) Stellen Sie c als Summe eines Vektors aus [mm]U[/mm] und eines
> Vektors aus [mm]U^\bot[/mm] dar. Ergänzen Sie [mm](a, b)[/mm] zu einer
> Orthogonalbasis des [mm]\IR^3[/mm].
> Ich konnte alles ohne Probleme
> lösen bis auf die (c). Dort fehlt mit das Wissen, was
> [mm]U^\bot[/mm] sein soll. Ein Unterraum, der zu [mm]U[/mm] orthogonal ist?
>
> Das "Ergänzen Sie [mm](a, b)[/mm] zu einer Orthogonalbasis des
> [mm]\IR^3[/mm]" schaffe ich mit dem Gram-Schmidtschen Verfahren.
>
> wie ist der erste Teil der Teilaufgabe (c) zu lösen?
Hallo pawlow,
Erstens: mit den Vektoren, die du hier angegeben hast,
ist wohl etwas faul, denn es ist a=b=c. Das gäbe doch
eine allzu primitive Aufgabe.
Wenn du (b) gelöst hast, hast du schon den ersten
Summanden [mm] c_{proj} [/mm] der in (c) verlangten Zerlegung. Der
andere Summand (in [mm] U^\bot) [/mm] ist dann durch Subtraktion
leicht zu ermitteln:
[mm] c_{orth}=c-c_{proj} [/mm]
Falls a und b wirklich orthogonal waren (bei den angege-
benen Vektoren ist dies nicht der Fall), ist [mm] c_{orth} [/mm] ein
Vektor, der die Basis [mm] \{a,b\} [/mm] von U zu einer orthogonalen
Basis [mm] \{a,b,c_{orth}\} [/mm] von [mm] \IR^3 [/mm] ergänzt.
Weil sich das Ganze im [mm] \IR^3 [/mm] abspielt, kann man es sich
hervorragend veranschaulichen ! U ist die von a und b
aufgespannte Ebene durch O und [mm] U^\bot [/mm] ist die dazu
senkrechte Gerade durch O.
Gruß Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Mo 16.02.2009 | | Autor: | pawlow |
> Erstens: mit den Vektoren, die du hier angegeben hast,
> ist wohl etwas faul, denn es ist a=b=c. Das gäbe doch
> eine allzu primitive Aufgabe.
Ja, blöd, tut mir leid. So soll es eigentlich sein:
$ [mm] a:=\pmat{2\\-1\\2}~ [/mm] $, $ [mm] b:=\pmat{0\\2\\1} [/mm] $ und $ [mm] c:=\pmat{4\\1\\1}$
[/mm]
> Wenn du (b) gelöst hast, hast du schon den ersten
> Summanden [mm]c_{proj}[/mm] der in (c) verlangten Zerlegung.
Ja, habe ich gelöst:
[mm] $Proj_U(c) [/mm] = [mm] \frac{}{}*a+\frac{}{}*b=\pmat{2\\\frac{1}{5}\\\frac{13}{5}}$
[/mm]
> Der andere Summand (in [mm]U^\bot)[/mm] ist dann durch Subtraktion
> leicht zu ermitteln:
>
> [mm]c_{orth}=c-c_{proj}[/mm]
Hmm. Schön, das wäre ein Weg, nur verstehe ich nicht warum. Was ist denn das [mm] $U^\bot$? [/mm] Wie nennt man es, damit ich es auch mal googeln kann.
> Falls a und b wirklich orthogonal waren (bei den angege-
> benen Vektoren ist dies nicht der Fall), ist [mm]c_{orth}[/mm] ein
> Vektor, der die Basis [mm]\{a,b\}[/mm] von U zu einer orthogonalen
> Basis [mm]\{a,b,c_{orth}\}[/mm] von [mm]\IR^3[/mm] ergänzt.
Ja,stimmt. Mal versuchsweise das Skalarprodukt [mm] $$ [/mm] ausgerechnet und es kommt tatsächlich 0 raus. Aber ich verstehe noch nicht ganz warum.
Zwischendurch, zur Notation, stimmt meine Schreibweise?
> Weil sich das Ganze im [mm]\IR^3[/mm] abspielt, kann man es sich
> hervorragend veranschaulichen ! U ist die von a und b
> aufgespannte Ebene durch O und [mm]U^\bot[/mm] ist die dazu
> senkrechte Gerade durch O.
Tschuldige, will mich nicht blöd anstellen aber sind jetzt $! U$ und [mm] $U^\bot$ [/mm] dasselbe?
Danke für Deine und liebe Grüße
~ pawlow
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> [mm]a:=\pmat{2\\-1\\2}[/mm], [mm]b:=\pmat{0\\2\\1}[/mm], [mm]c:=\pmat{4\\1\\1}[/mm]
>
[mm]Proj_U(c) = \frac{}{}*a+\frac{}{}*b=\pmat{2\\\frac{1}{5}\\\frac{13}{5}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> > Der andere Summand (in [mm]U^\bot)[/mm] ist dann durch Subtraktion
> > leicht zu ermitteln:
> >
> > [mm]c_{orth}=c-c_{proj}[/mm]
>
> Hmm. Schön, das wäre ein Weg, nur verstehe ich nicht warum.
> Was ist denn das [mm]U^\bot[/mm]? Wie nennt man es, damit ich es
> auch mal googeln kann.
[mm] U^\bot [/mm] ist der Orthogonalraum zu U in [mm] \IR^3
[/mm]
> [mm]c_{orth}[/mm] ist ein Vektor, der die Basis [mm]\{a,b\}[/mm] von U zu einer
> orthogonalen Basis [mm]\{a,b,c_{orth}\}[/mm] von [mm]\IR^3[/mm] ergänzt.
>
> Ja,stimmt. Mal versuchsweise das Skalarprodukt [mm][/mm]
> ausgerechnet und es kommt tatsächlich 0 raus. Aber ich
> verstehe noch nicht ganz warum.
>
> Zwischendurch, zur Notation, stimmt meine Schreibweise?
ich weiß nicht, ob es eine Standardschreibweise gibt
> > Weil sich das Ganze im [mm]\IR^3[/mm] abspielt, kann man es sich
> > hervorragend veranschaulichen. U ist die von a und b
> > aufgespannte Ebene durch O und [mm]U^\bot[/mm] ist die dazu
> > senkrechte Gerade durch O.
>
> sind jetzt [mm] U[/mm] und [mm]U^\bot[/mm] dasselbe?
Nein, bestimmt nicht. In diesem Beispiel ist U die Menge aller
(von O aus als Ortsvektoren gedachten) Vektoren mit Spitze
in der durch a und b aufgespannten Ebene E: 5x+2y-4=0.
E hat den Normalenvektor [mm] \vec{n}=\vektor{5\\2\\-4}. [/mm] Dieser ist parallel
zum obigen Vektor [mm] c_{orth}\,, [/mm] kann also ebenfalls als dritter
Basisvektor (mit a und b zusammen) einer orthogonalen
Basis von [mm] \IR^3 [/mm] dienen.
[mm] U^\bot [/mm] ist der Vektorraum, der von [mm] \vec{n} [/mm] aufgespannt wird,
Seine Elemente sind die Vektoren mit Anfangspunkt in O
und Spitze auf der Geraden [mm] g:\vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\0\\0}+t*\vektor{5\\2\\-4} [/mm] , also auf
der Normalen zu E in O. Damit wird auch der Begriff
"Orthogonalraum" wirklich anschaulich.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Mo 16.02.2009 | | Autor: | pawlow |
Ok, ich habe mich jetzt mal belesen. Der Orthornormalraum ist das Komplement eines Unterraums.
[mm] $U^\perp:=\{v\in V\mid\forall u \in U: \langle u,v\rangle=0\} [/mm] $
Nur wie ermittel ich diesen? Ich denke das steht in GANZ engem Zusammenhang zu meiner nächsten Frage: Wie kommst du denn auf E? Bei mir ist $U = span({a,b})$, also die Menge aller Linearkombinationen aus a und b.
Hmm, der Normalenvektor. Mist, grade gegoogelt und langsam erinnere ich mich. Der Vektor, der zu einer Ebene senkrecht steht. Also ist der "Orthogonalraum" in diesem Fall eine Gerade.
Blöde Frage: Ist die Summe der Dimensionen von Unterraum und "Orthogonalraum" immer gleich der des Vektorraumes?
Und wie ermittel ich einen Orthogonalraum ganz Allgemein, bspw. für [mm] $\IR^4$?
[/mm]
Langsam erfasst mich die Panik, übermorgen ist die Prüfung!
Vielen Dank und liebe Grüße
~ pawlow
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> Ok, ich habe mich jetzt mal belesen. Der Orthornormalraum
> ist das Komplement eines Unterraums.
> [mm]U^\perp:=\{v\in V\mid\forall u \in U: \langle u,v\rangle=0\}[/mm]
>
> Nur wie ermittel ich diesen? Ich denke das steht in GANZ
> engem Zusammenhang zu meiner nächsten Frage: Wie kommst du
> denn auf E? Bei mir ist [mm]U = span({a,b})[/mm], also die Menge
> aller Linearkombinationen aus a und b.
Das ist dasselbe. Wenn du die Ebenengleichung in
der von der Schule her bekannten Parameterform
E: [mm] \vec{r}=s*a+t*b
[/mm]
E: [mm] \vektor{x\\y\\z}=s*\vektor{2\\-1\\2}+t*\vektor{0\\2\\1}
[/mm]
betrachtest, sollte das klar werden.
> Hmm, der Normalenvektor. Mist, grade gegoogelt und langsam
> erinnere ich mich. Der Vektor, der zu einer Ebene senkrecht
> steht. Also ist der "Orthogonalraum" in diesem Fall eine
> Gerade.
Na eben, die Geometrie von der Schule war vielleicht
doch nicht ganz für die Katz. Nur schade, dass sich
Professoren manchmal gar nicht bemühen, an das
durchaus vorhandene Vorwissen anzuknüpfen ...
> Blöde Frage: Ist die Summe der Dimensionen von Unterraum
> und "Orthogonalraum" immer gleich der des Vektorraumes?
Die Frage ist nicht blöd, die Antwort "Ja !"
> Und wie ermittel ich einen Orthogonalraum ganz Allgemein,
> bspw. für [mm]\IR^4[/mm]?
Wenn du in [mm] \IR^4 [/mm] z.B. einen zweidimensionalen Unterraum
$\ U=span(a,b)\ (a,b$ unabhängig!) hast, brauchst du,
um [mm] U^\bot [/mm] aufzuspannen, zwei untereinander linear
unabhängige Vektoren [mm] c,d\in\IR^2 [/mm] mit
$\ c*a=0\ [mm] ,\, [/mm] c*b=0\ [mm] ,\,d*a=0\ ,\,d*b=0$ [/mm] .
Dann ist
$\ [mm] U^\bot\ [/mm] =\ span(c,d)$
Ist $\ U=span(a)$ eindimensional, brauchst du unabhängige
$\ b,c,d$ mit $\ a*b=a*c=a*d=0$. Dann ist
$\ [mm] U^\bot\ [/mm] =\ span(b,c,d)$
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 Mo 16.02.2009 | | Autor: | pawlow |
Yeah, gerafft! Danke! :D
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