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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Dave11 |
| Aufgabe | Es sei [mm] U\subseteq \IR^n [/mm] ein Unterraum. Die Teilmenge
[mm] U^\perp [/mm] :={ [mm] v\in \IR^n [/mm] : u [mm] \perp [/mm] v für jedes u [mm] \in [/mm] U}
des [mm] \IR^n [/mm] heisst orthogonales Komplement von U.
a)Zeigen Sie : [mm] U^\perp [/mm] ist ein Untervektorraum von [mm] \IR^n [/mm] mit [mm] U\cap U^\perp={0}.
[/mm]
b)Zeigen Sie: Jede ONB für U kann zur einer ONB für [mm] \IR^n [/mm] ergänzt werden.
c)Zeigen Sie : [mm] U+U^\perp=\IR^n [/mm] und diese Summe ist eine direkte Summe. |
Also zur a)
Da bin ich einfach die Bedingungen die für ein Unterraum gelten müssen durchgegangen.Nur fehlt mir der Ansatz wie ich zeige das [mm] U\cap U^\perp={0} [/mm] ist.Das es so ist , ist mir irgendwie schon klar.Aber wenn die sich nur in einem Punkt schneiden, ist dann nicht [mm] U^\perp [/mm] eine Gerade?Wir hatten
in der Vorlesung besprochen das Wenn U eine Ebende im [mm] R^3 [/mm] ist, das
[mm] U^\perp [/mm] dann eine Gerade sei.Gilt das auch im [mm] R^n [/mm] oder liege ich hier total Falsch?Wie zeige ich das sonst?
Zur b)
Da hatte ich mir überlegt das ich einfach eine Basis aus dem [mm] R^n [/mm] nehme und zu einer ONB mache.Nun könnte ich ja nach dem Basisergänzungssatz meine ONB aus U mit den geigneten ONB-Vektoren aus [mm] IR^n [/mm] zu einer ONB aus [mm] IR^n [/mm] ergänzen.
Wäre das so richtig und korrekt ausgedrückt?
Zur c)
Da fehlt mir irgendwie noch der Ansatz.
Vielen Dank im vorraus
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> Es sei [mm]U\subseteq \IR^n[/mm] ein Unterraum. Die Teilmenge
>
> [mm]U^\perp[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:={ [mm]v\in \IR^n[/mm] : u [mm]\perp[/mm] v für jedes u [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U}
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> des [mm]\IR^n[/mm] heisst orthogonales Komplement von U.
>
>
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> a)Zeigen Sie : [mm]U^\perp[/mm] ist ein Untervektorraum von [mm]\IR^n[/mm]
> mit [mm]U\cap U^\perp={0}.[/mm]
>
> Also zur a)
>
> Da bin ich einfach die Bedingungen die für ein Unterraum
> gelten müssen durchgegangen.Nur fehlt mir der Ansatz wie
> ich zeige das [mm]U\cap U^\perp={0}[/mm] ist.Das es so ist , ist mir
> irgendwie schon klar.Aber wenn die sich nur in einem Punkt
> schneiden, ist dann nicht [mm]U^\perp[/mm] eine Gerade?Wir hatten
> in der Vorlesung besprochen das Wenn U eine Ebende im [mm]R^3[/mm]
> ist, das
> [mm]U^\perp[/mm] dann eine Gerade sei.Gilt das auch im [mm]R^n[/mm] oder
> liege ich hier total Falsch?Wie zeige ich das sonst?
Hallo,
nein, [mm] U^{\perp} [/mm] ist nicht unbedingt eine Gerade, was für ein Gebilde das ist, hängt von der Dimension von U ab.
Wenn U m-dimensional ist, ist [mm] U^{\perp} [/mm] (n-m)-dimensional.
zunächst zu der in a) zu beweisenden Aussage:
Daß [mm] \{0\} \subseteq U\cap U^{\perp}, [/mm] gilt sowieso, weil Schnitte von Unterräumen Unterräume sind und jeder Unterraum die Null enthält.
Nimm nun an es sei [mm] x\in U\cap U^{\perp}.
[/mm]
Dann ist [mm] x\in [/mm] U und [mm] x\in U^{\perp}
[/mm]
Bedenke nun, daß jedes Element in [mm] U^{\perp} [/mm] orthogonal ist zu jedem, welches in U ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 So 28.10.2007 | | Autor: | ossi83 |
Hallo.
Ich habe eine Frage zu dieser Antwort:
Es ist zwar klar, dass im Schnitt von zwei Unterräumen die 0 enthalten ist. Dazu muss man aber erst zeigen, dass das Orthogonale Komplement ein Unterraum ist (zumindest bei dieser Aufgabe).
Ich bearbeite die Aufgabe auch und habe folgendes Problem:
Man soll zeigen, dass das Orthogonale Komplement ein Unterraum ist, also das die 0 enthalten ist. Man kann aber nicht verwenden, dass die 0 im Schnitt enthalten ist, weil man ja noch gar nicht gezeigt hat, dass es sich um einen Unterraum handelt.
Wie zeigt man, dass die 0 enthalten ist ohne zu benutzen, dass sie im Schnitt enthalten ist?
Die Antwort müsste doch irgendwo in der Definition von beiden Unterräumen versteckt sein, oder bin ich komplett auf dem Holzweg?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:12 So 28.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
a)wie definierst du senkrecht? zeige damit, dass der 0vektor senkreecht zu u ist.
mit v ist auch - v in der Menge, v+(-v)=0
wenn 2 Vektoren senkrecht auf einem dritten stehen, dann auch ihre Summe.
Der 0Vektor steht zu jedem Vekttor senkrecht! auch zu sich selbst.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:25 So 28.10.2007 | | Autor: | ossi83 |
Guten Morgen!
Vielen Dank für die nette Hilfe.
Hab mir schon gedacht, dass es irgendwie in der Definition stecken muss, hatte aber irgendwie ein Brett vor dem Kopf.
Also
Danke nochmal
Gruß ossi
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> Es sei [mm]U\subseteq \IR^n[/mm] ein Unterraum. Die Teilmenge
>
> [mm]U^\perp[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:={ [mm]v\in \IR^n[/mm] : u [mm]\perp[/mm] v für jedes u [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U}
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> des [mm]\IR^n[/mm] heisst orthogonales Komplement von U.
>
>
> b)Zeigen Sie: Jede ONB für U kann zur einer ONB für [mm]\IR^n[/mm]
> ergänzt werden.
> Zur b)
>
> Da hatte ich mir überlegt das ich einfach eine Basis aus
> dem [mm]R^n[/mm] nehme und zu einer ONB mache.Nun könnte ich ja nach
> dem Basisergänzungssatz meine ONB aus U mit den geigneten
> ONB-Vektoren aus [mm]IR^n[/mm] zu einer ONB aus [mm]IR^n[/mm] ergänzen.
>
> Wäre das so richtig und korrekt ausgedrückt?
Hallo,
nicht ganz, obgleich einiges Richtige darin vorkommt.
Vorausgesetzt ist ja bereits, daß Du eine ONB von U hast, nennen wir sie [mm] C:=(c_1, ...c_m). [/mm] Sei [mm] B:=(b_1, ...b_n) [/mm] irgendeine Basis des [mm] \IR^n.
[/mm]
Nach dem Basisergänzungserganzungssatz findest Du in B passende Vektoren, um sie zu einer Basis des [mm] \IR^n [/mm] zu ergänzen, bei geeigneter Numerierung ist [mm] (c_1, ...c_m, b_{m+1},...,b_n) [/mm] eine Basis.
Orthonormierst Du diese nun mit Gram-Schmidt, so bekommst Du eine ONB [mm] (d_1, [/mm] ..., [mm] d_n) [/mm] mit [mm] d_i=c_i [/mm] für i=1,...,m.
c) folgt dann auf recht direktem Wege aus a) und b).
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Dave11 |
Danke für die schnelle Hilfe
MFG Dave
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