Orthogonale Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 Sa 11.12.2004 | | Autor: | snibbe |
Hallo,
stehe vor folgender Aufgabe:
Bestimme eine Zahl [mm]r[/mm] so, dass [mm]\vec{a} - r * \vec{b}[/mm] orthogonal zu [mm] \vec{b} [/mm] ist.
Gegeben sind [mm] \vec{a}[/mm] und [mm] \vec{b} [/mm]:
[mm] \vec{a}= \vektor{1 \\ 3 \\ 2} [/mm] und [mm] \vec{b}= \vektor{-1 \\ 3 \\ 2}[/mm]
Angefangen habe ich, indem ich [mm]\vec{a} - r * \vec{b}[/mm] gebildet habe.
Als Lösung dafür habe ich [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 2} - r * \vektor{-2 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Nun weiß ich jedoch nicht weiter. Bis jetzt musste ich nur einen Vektor errechnen der orthogonal zu einem bzw. zwei anderen Vektoren ist.
Da habe ich dann die Gleichungen jeweils mit 0 gleichgesetzt.
Doch hier sollen sie ja zu einem Vektor orthogonal sein.
Habe auch versucht dies dann mit dem Vektor gleichzusetzen, aber dann erhalte ich für r immer -1.
Danke im voraus
sniBBe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:56 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Snibbe!
> Bestimme eine Zahl $ r $ so, dass $ [mm] \vec{a} [/mm] - r [mm] \cdot{} \vec{b} [/mm] $ orthogonal zu $ [mm] \vec{b} [/mm] $ ist.
Dann mal los :)
> Angefangen habe ich, indem ich $ [mm] \vec{a} [/mm] - r [mm] \cdot{} \vec{b} [/mm] $ gebildet habe.
> Als Lösung dafür habe ich $ [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 2} [/mm] - r [mm] \cdot{} \vektor{-2 \\ 0 \\ 0} [/mm] $
Wie kommst du auf [mm] $\vektor{-2\\ 0\\ 0}$, [/mm] es muss doch [mm] $\vektor{-1\\ 3\\ 2}=b$ [/mm] lauten, da du einen Vektor [mm] $a-r\cdot [/mm] b$ bestimmen sollst.
> Bis jetzt musste ich nur einen Vektor errechnen der orthogonal zu einem bzw. zwei anderen Vektoren ist.
Ersteres musst du hier auch. Du hast nun den Vektor $ [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 2} [/mm] - r [mm] \cdot{} \vektor{-1\\ 3\\ 2} [/mm] $ bestimmt und laut Aufgabenstellung soll dieser orthogonal zu [mm] $\vektor{-1\\ 3\\ 2}$ [/mm] stehen. Wann sind die Vektoren orthogonal? Wenn ihr Skalarprodukt Null beträgt. Wir machen also den Ansatz:
[mm] $\left( \vektor{1 \\ 3 \\ 2} - r \cdot{} \vektor{-1\\ 3\\ 2} \right) \cdot \vektor{-1\\ 3\\ 2}=0$
[/mm]
[mm] $\gdw \vektor{1+r\\ 3-3r\\ 2-2r}\cdot\vektor{-1\\ 3\\ 2}=0$
[/mm]
Schaffst du es nun alleine zuende? Schreibe das Skalarprodukt einfach aus und stelle dann sofern möglich nach r um.
Liebe Grüße und Viel Erfolg,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:56 So 12.12.2004 | | Autor: | snibbe |
Hallo,
danke für die schnelle Antwort.
Auf das eine Ergebnis kam ich weil ich fälschlicherweise angenommen habe, dass
[mm]\vec{a} - r \cdot{} \vec{b}[/mm] eine Gerade darstellen soll.
Sprich [mm]\vec{a}[/mm] hab ich als Ortsvektor genommen und dann den restlichen Teil als Richtungsvektor betrachtet.
Meine weitere Lösung sieht wie folgt aus:
[mm] (1+r) * (-1) + (3-3*r) * 3 + (2-2*r) * 2 = 0[/mm]
Habe dies dann nach r aufgelöst und als endgültige Lösung
[mm] r=\bruch{6}{7}[/mm]
erhalten.
Nochmals vielen Dank.
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