Orthogonale Projektionen < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 Mi 26.10.2011 | | Autor: | Black90 |
Gegeben sei ein X ~ [mm] N(\mu, \sigma^2 \cdot I_n) [/mm] und ein orthogonaler Projektor [mm] \Pi_L [/mm] auf einen linearen Teilraum L.
Wie kann man dann begründen dass [mm] \Pi_L \cdot [/mm] X und [mm] (I-\Pi_L)\cdot X=\Pi_{L\perp} \cdot [/mm] X stochastisch unabhängig sind?
Wir benutzen das obige Argument ziemlich oft in der Vorlesung, aber sauber bewiesen haben wir es nie - wie könnte man das beweisen?
Mein Ansatz wäre dass man sich die Verteilung von [mm] \begin{pmatrix} \Pi_L \cdot X \\ \Pi_{L\perp} \cdot X \end{pmatrix} [/mm] anschaut.
Der Vektor müsste ja auch wieder normalverteilt sein, und wenn die beiden unkorreliert sind kann man ja die stochastische Unabhängigkeit folgern.
Ist das ein sinnvolles Vorgehen oder kann man das noch geschickter machen?
Ich freu mich über jeden Tipp 
Gruß Black
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Mi 26.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Der Vektor müsste ja auch wieder normalverteilt sein, und wenn die beiden unkorreliert sind kann man ja die stochastische Unabhängigkeit folgern.
Ja.
1. Beide Vektoren, [mm] $\Pi [/mm] X$ und [mm] $(I-\Pi)X$, [/mm] sind normalverteilt
2.
[mm] $Cov((I-\Pi)X,\Pi [/mm] X) = [mm] \Sigma \Pi^t [/mm] - [mm] \Pi \Sigma\Pi^t [/mm] = [mm] \Sigma \Pi [/mm] - [mm] \Sigma \Pi [/mm] = 0,$
wobei [mm] $\Sigma$ [/mm] die Kovarianzmatrix ist, und [mm] $\Pi$ [/mm] und [mm] $\Sigma$ [/mm] sind beide symmetrisch. Deswegen funktioniert die Rechnung.
ciao
Stefan
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