Orthogonale Projektion < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Sa 11.08.2007 | | Autor: | lala14 |
| Aufgabe | E Praehilbertraum, N [mm] \subset [/mm] E, M [mm] \subset [/mm] E, dim N < [mm] \infty, [/mm] dim N < dim M
Zu Zeigen ist: Es existiert ein Punkt x [mm] \ne [/mm] 0 mit ||x|| = d(x,N) |
Ich habe als Hinweis noch gegeben, dass man den Durchschnitt von M und dem orthogonalen Komplement von N betrachten soll.
Also: ||x|| = d(x,N) ist ja nichts anderes, als die orthogonale Projektion von x auf F ( [mm] P_F(x)=0 [/mm] ).
Das orthogonale Komplement von N ist [mm] P_N^_-_1 [/mm] (0), aber leider weiß ich nicht, was ich damit anfangen soll?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:04 Mi 15.08.2007 | | Autor: | MatthiasKr |
Hi,
> E Praehilbertraum, N [mm]\subset[/mm] E, M [mm]\subset[/mm] E, dim N <
> [mm]\infty,[/mm] dim N < dim M
> Zu Zeigen ist: Es existiert ein Punkt x [mm]\ne[/mm] 0 mit ||x|| =
> d(x,N)
> Ich habe als Hinweis noch gegeben, dass man den
> Durchschnitt von M und dem orthogonalen Komplement von N
> betrachten soll.
> Also: ||x|| = d(x,N) ist ja nichts anderes, als die
> orthogonale Projektion von x auf F ( [mm]P_F(x)=0[/mm] ).
> Das orthogonale Komplement von N ist [mm]P_N^_-_1[/mm] (0), aber
> leider weiß ich nicht, was ich damit anfangen soll?!
mir ist bei deiner fragestellung einiges unklar: Was hat $M$ mit $N$ zu tun, ist [mm] $N\subset [/mm] M$? und spaeter bei deiner idee: was ist $F$?
gruss
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 Mi 15.08.2007 | | Autor: | lala14 |
Da habe ich einen Schreibfehler: F sollte eigentlich N sein!!
Der Punkt x ist ein Element aus M. Ob N eine Teilmenge aus M ist, ist bei der Aufgabenstellung nicht angegeben. Es ist nur die Beziehung
dim N < dim M angegeben.
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Hi,
> E Praehilbertraum, N [mm]\subset[/mm] E, M [mm]\subset[/mm] E, dim N <
> [mm]\infty,[/mm] dim N < dim M
> Zu Zeigen ist: Es existiert ein Punkt x [mm]\ne[/mm] 0 mit ||x|| =
> d(x,N)
> Ich habe als Hinweis noch gegeben, dass man den
> Durchschnitt von M und dem orthogonalen Komplement von N
> betrachten soll.
> Also: ||x|| = d(x,N) ist ja nichts anderes, als die
> orthogonale Projektion von x auf F ( [mm]P_F(x)=0[/mm] ).
> Das orthogonale Komplement von N ist [mm]P_N^_-_1[/mm] (0), aber
> leider weiß ich nicht, was ich damit anfangen soll?!
bin nicht ganz sicher, aber ich glaube den satz ueber orth. projektionen brauchst du hier nicht unbedingt...
ich denke, zunächst musst du argumentieren, dass der schnitt des orth. kompl. von N mit M nicht leer ist.
wenn du das hast, ist der rest imho nicht so schwer: sei [mm] $x_M\ne [/mm] 0$ ein punkt im schnitt. dann hat dieser automatisch die gesuchte eigenschaft, denn
[mm] $d(x_M,N)^2=\inf_{x_N\in N}\|x_M-x_N\|^2=\inf_{x_N\in N}(x_M-x_N,x_M-x_N)_E=\ldots [/mm] $
schaffst dus jetzt?
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Sa 18.08.2007 | | Autor: | lala14 |
Ist das orthogonale Komplement von N [mm] P_N^-^1(0) [/mm] ?
Aber leider weiß ich nicht wie ich dann zeige, dass der Durchschnitt von M und [mm] P_N^-^1(0) [/mm] nicht leer ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Fr 24.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ist das orthogonale Komplement von N [mm]P_N^{-1}(0)[/mm] ?
> Aber leider weiß ich nicht wie ich dann zeige, dass der
> Durchschnitt von M und [mm]P_N^{-1}(0)[/mm] nicht leer ist.
Nur so als Idee, weil ich mir nicht ganz sicher bin, ob die Argumentation vollständig ist:
Da N nur endlich viele Dimensionen hat, lässt sich jeder Punkt [mm]x\in M[/mm] schreiben als Summe [mm]x =x_1+x_2[/mm] mit [mm]x_1\in N[/mm], [mm]x_2 \in N^{\perp}[/mm]. Da [mm]\dim N < \dim M[/mm] ist, gibt es solche x, für die [mm]x_2\not=0[/mm].
Grüße
Rainer
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