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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Orthogonale Projektion
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Orthogonale Projektion: Identität zeigen
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:54 Sa 24.10.2015
Autor: mikexx

Es sei \left\{X_t\right\} ein stationärer Prozess mit Erwartungswert \mu. Zeige, dass

\displaystyle P_{\overline{\text{sp}}\left\{1,X_1,\ldots,X_n\right\}}X_{n+h}=\mu+P_{\overline{\text{sp}}\left\{Y_1,\ldots,Y_n\right\}}Y_{n+h},

wobei \left\{Y_t\right\}=\left\{X_t-\mu\right\}.

(Hierbei bezeichnet \overline{\text{sp}} den abgeschlossenen Span und P_M(x) die ortohogonale Projektion von  x auf den abgeschlossenen Unterraum M.)

Meine Idee ist es, das folgende Resultat zu benutzen:

Wenn M ein abgeschlossener Unterraum von H ist, dann ist P_Mx die orthogonale Projektion von x\in H auf M genau dann, wenn P_Mx\in M und (x-P_Mx)\in M^{\bot}.

Zur Verringerung der Schreibarbeit setze

M_1:=\overline{\text{sp}}\left\{1,X_1,\ldots,X_n\right\}, M_2:=\overline{\text{sp}}\left\{Y_1,\ldots,Y_n\right\} und \hat{X}_{n+h}:=P_{M_1}X_{n+h} und \hat{Y}_{n+h}:=P_{M_2}Y_{n+h}.

---

Meine Idee ist es zu zeigen, dass

(i) [mm] $\mu-\hat{Y}_{n+h}\in M_1$ [/mm] und

(ii) [mm] $X_{n+h}-(\mu+\hat{Y}_{n+h})\in M_1^{\bot}$. [/mm]


Zu (i):

Es ist M_2\subseteq M_1. Denn sei Z\in M_2, dann

\displaystyle Z=\sum_{i=1}^n \alpha_i Y_i=\sum_{i=1}^n\alpha_i X_i-\mu\sum_{i=1}^n\alpha_i\cdot X_0, X_0=1.

d.h. man kann Z als eine Linearkombination von 1,X_1,\ldots,X_n mit X_0=1 ausdrücken.

Da \hat{Y}_{n+h}\in M_2, gilt also \hat{Y}_{n+h}\in M_1 und insbesondere \mu+\hat{Y}_{n+h}\in M_1.


Zu (ii):

Das bekomme ich leider nicht gezeigt.

Zunächst gilt: Aus M_2\subseteq M_1 folgt M_1^{\bot}\subseteq M_2^{\bot}.

Ich kann nur zeigen, dass X_{n+h}-(\mu+\hat{Y}_{n+h})\in M_2^{\bot}, denn

\displaystyle X_{n+h}-(\mu+\hat{Y}_{n+h})=X_{n+h}-\mu-\hat{Y}_{n+h}=Y_{n+h}-\hat{Y}_{n+h}\in M_2^{\bot}.


Hat jemand eine Idee, wie man (ii) zeigen kann?


        
Bezug
Orthogonale Projektion: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Mo 26.10.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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