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| Aufgabe | Es sei R ein Hauptidealring, [mm]a, b \in R \setminus \left\{ 0 \right\}[/mm]und [mm]p[/mm] ein
Primelement in [mm]R[/mm]. Zeigen Sie, dass
[mm]ord_p \left( a + b \right) \ge Min \left{ord_p \left( a \right), ord_p \left( b \right) \right}[/mm]
ist, und dass [mm]ord_p \left( a + b\right) = Min \left\{ord_p \left( a \right), ord_p \left( b \right) \right\}[/mm] ist, falls [mm]ord_p \left( a \right) \not=
ord_p \left( b \right) ist.[/mm] |
Soo, also erstmal wollte ich wissen, was genau ein Hauptidealring. Die ganzen Definitionen helfen mir nicht so weiter. Also Ein Ideal ist eine Teilmenge von R, in der diese 3 Dinge gelten: Existenz der 0, a-b in I und r aus R mit: r*i = i*r in I. Und was genau ist ein Hauptideal?
Und zur Aufgabe:
Mein Ansatz sieht wie folgt aus: Für den [mm]\ge[/mm] - Teil habe ich mir gedacht:
[mm]
ord_p (a) := l[/mm]
[mm]ord_p (b) := k[/mm]
-> [mm] p^l [/mm] | a und [mm] p^k [/mm] | b
1. Fall: l > k
-> [mm] p^k [/mm] | a und [mm] p^k [/mm] | b, aber [mm] p^l [/mm] teilt nicht b
-> [mm] p^k [/mm] | a+b , aber [mm] p^l [/mm] teilt nicht a+b
-> [mm]ord_p \left( a+b \right) \ge Min\left{ord_p \left( a \right),ord_p \left( b \right) \right}
[/mm]
2. Fall mit k > l analog dazu
und 3. Fall jeweils mit teilt auch, jedoch gilt ja weiterhin im 1. und 2. Fall, dass p^(l+1) und p^(k+1) NICHT a+b teilen, sondern es nur im 3. Fall möglich ist, aber ich weiß nicht, wie ich das beweisen soll
Kann man den 1. Teil der aufgabe wenigstens so zeigen? :D
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 28.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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