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| Aufgabe | | ON (Klasse der Ordinalzahlen) ist eine transitive Klasse. D. h. wenn [mm] $\alpha\in [/mm] ON$ und [mm] $z\in\alpha$, [/mm] folgt [mm] $z\in [/mm] ON$. |
Liebe Forengemeinde,
ich versuche gerade obigen Beweis (aus Kunen: Foundations of Mathematics) zu verstehen und habe dabei einige Schwierigkeiten.
Er verläuft so (Definition von [mm] $\alpha$ [/mm] Ordinalzahl: [mm] $\alpha$ [/mm] transitiv, d. h. [mm] $z\in\alpha\Rightarrow z\subseteq\alpha$ [/mm] und wohlgeordnet):
Weil [mm] $\alpha$ [/mm] transitiv ist, gilt [mm] $z\subseteq\alpha$ [/mm] und damit ist $z$ auch wohlgeordnet. Es bleibt, die Transitivität von $z$ zu zeigen:
Sei [mm] $x\in y\in [/mm] z$, wir müssen [mm] $x\in [/mm] z$ zeigen:
Wegen [mm] $z\subseteq\alpha$ [/mm] folgt [mm] $y\in\alpha$, [/mm] also [mm] $y\subseteq\alpha$ [/mm] und somit [mm] $x\in\alpha$. [/mm] Nun folgt die Aussage, weil [mm] $\in$ [/mm] transitiv auf [mm] $\alpha$ [/mm] ist.
Den letzten Satz verstehe ich nicht. Wir wissen, dass [mm] $x,y,z\in\alpha$, [/mm] also ist insbesondere [mm] $x\subseteq\alpha$ [/mm] (und genauso für $y$), aber warum sagt das aus, dass [mm] $x\in [/mm] z$ ist?
Ich freue mich sehr über jegliche Hilfe.
Lg Herr_von_Omikron
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Hallo Herr von $ O $,
du weißt jetzt, dass $ x, y, z $ Elemente von [mm] $\alpha [/mm] $ sind, und du weißt, dass [mm] $\in$ [/mm] eine strikte Ordnung auf [mm] $\alpha [/mm] $ ist. Wenn es dir jetzt immer noch nicht klar ist, schreibe anstelle von [mm] $\in [/mm] $ mal ein Symbol, dass für Ordnungsrelationen geläufiger ist, dann sollte es wirklich klar sein.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Achso, hm, daher gilt entweder [mm] x\in [/mm] z oder [mm] z\in [/mm] x oder x=z und weil die letzten beiden der Wohlfundiertheit widersprächen, gilt [mm] x\in [/mm] z.
Sorry für die blöde Frage und herzlichen Dank.
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