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| Aufgabe | x(t): reelle Funktion in t
w(t): Wiener Prozeß, w [mm] \sim N(0,\wurzel{\Delta t}) [/mm] (normalverteilt)
k, a, b, c [mm] \in \IR [/mm]
dx(t) = k*(a-x(t)) dt + c dw(t)
Gesucht: Die Funktion x(t). Herleitung durch Itô-Lemma |
Hi,
ich muss obige Stochastische Differentialgleichung auflösen.
Dazu soll ich das Itô-Lemma verwenden.
dx = g(x,t) dt + h(x,t) dw(t), mit g(x,t)=k*(a-x(t)), h(x,t)=c
f (x(t)) ... f ist eine Funktion in x und t...
Itô sagt dann aus, dass der Prozeß df wie folgt aussieht...
df = [mm] (f_{t}+f_{x}*g(x,t)+\bruch{1}{2}*f_{xx}*(h(x,t))^{2}) [/mm] dt + [mm] f_{x}*h(x,t) [/mm] dw(t)
Mein Problem ist, dass ich keine geeignete Substitution finden kann, mit der sich die ursprüngliche Funktion x eliminieren läßt.
Ich bin mir aber auch nicht sicher, ob das unbedingt notwendig ist.
Für eine Lösung inklusive Lösungsweg wäre ich euch sehr dankbar. Es eilt ein wenig, weil ich am Freitag eine Prüfung habe, in der ich das unter anderem können sollte.
Aus der Vorlesung weiß ich zudem folgendes:
bei der Substitution f(t) = ln(x(t)) wird [mm] f_{t} [/mm] = 0 gesetzt, warum auch immer. Begründung des Profs war, dass f nicht implizit von t abhinge.
Grüße,
BertanARG
PS:
Ich habe die selbe Frage bereits im Forum Analysis veröffentlicht. Falls jemand dies sieht, und eine der beiden Einträge löschen möchte, dann bitte diese Anfrage im Finanzmatheforum stehen lassen und die in Analysis löschen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Fr 18.08.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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