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| Aufgabe | Sei [mm](Y_t)_t[/mm] kein stochastischer Prozess, so dass [mm]X_t=\ln (Y_t)_t[/mm] ein stationärer AR[1] Prozess mit normalverteilten Störungen [mm]\mathcal{N}(0,\sigma^2)[/mm] ist. Sei [mm]\hat{X}_{t,1}[/mm] die optimale 1-Schritt-Prognose.
(a) Zeigen Sie, dass [mm]\hat{Y}_{t,1}=[/mm][mm] \ln\hat{X}_{t,1}$ [/mm] eine verfälscht Prognose ist.
(b) Man bestimme die optimale Prognose [mm] \hat{Y}^{*}_{N+1} [/mm] auf der Basis [mm]Y_N,...,Y_0[/mm]. |
Hallo zusammen,
es geht um eine Aufgabe von meinem Prof.
Zur (a) hab ich keine richtige Idee, da alle Sätze die wir hatten zwischen rein-deterministisch und rein-nicht-det. unterscheiden.
Zur (b) Ich habe mich am bedingtem Erwartungswert versucht:
[mm]X_{t}=\varepsilon+\alpha X_{t-1}[/mm] mit [mm]\varepsilon\sim\mathcal{N}(0,\sigma^{2})[/mm] und [mm]Y_{t}=\ln X_{t}[/mm], d.h. [mm]Y_{t}=\exp\left[X_{t}\right][/mm]. Damit ergibt sich [mm]Y_{t}=e^{X_{t}}=e^{\varepsilon}\cdot e^{\alpha X_{t-1}}=e^{\varepsilon}Y_{t-1}^{\alpha}[/mm]
Dann gilt: [mm]\mathbb{E}\left[e^{c\varepsilon}\right]=\underset{\mathbb{R}}{\int}e^{cx}e^{-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}}dx=\underset{\mathbb{R}}{\int}\exp\left[-\frac{(x-c\sigma^{2})^{2}}{2\sigma^{2}}+\frac{c^{2}\sigma^{4}}{\sigma^{2}}\right]dx=\left(e^{\frac{\sigma^{2}}{2}}\right)^{c^{2}}[/mm] und
[mm]Y_{N+1}^{*}=\mathbb{E}\left[Y_{N+1}|Y_{N},...,Y_{0}\right]=\mathbb{E}\left[e^{\varepsilon}Y_{N}^{\alpha}|Y_{N},...,Y_{0}\right]=\mathbb{E}\left[e^{\varepsilon}\right]\mathbb{E}\left[(e^{\varepsilon}Y_{N-1}^{\alpha})^{\alpha}|Y_{N-1},...,Y_{0}\right]=...=\mathbb{E}\left[e^{\varepsilon}\right]\mathbb{E}\left[e^{\alpha\varepsilon}\right]...\mathbb{E}\left[e^{\alpha^{N-1}\varepsilon}\right]\mathbb{E}\left[Y_{o}^{\alpha^{N}}\right]=\exp\left[\frac{\sigma^{2}}{2}\sum_{k=0}^{N-1}\alpha^{2k}\right]\mathbb{E}[Y_{o}^{N}][/mm]
Kann ich das so machen, oder war das grober Unfug?
lg Kai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 So 20.02.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
bei a) sollst Du im Endeffekt nur zeigen, daß [mm] $\ln\left(E(X)\right) \neq E(\ln(X)).$
[/mm]
zur b)
Der Anfang stimmt.
> oder war das grober Unfug?
das war grober Unfug. Du sollst den Wert von morgen auf Basis der Werte von Anfang des Jahres bis heute schätzen. Aber Deine endgültige Formel hängt nur vom Erwartungswert für das Ergebnis vom ersten Januar ab. Nirgends läßt Du die bekannten Daten einfließen.
> $ [mm] Y_{N+1}^{\star}=\mathbb{E}\left[Y_{N+1}|Y_{N},...,Y_{0}\right]=\mathbb{E}\left[e^{\varepsilon}Y_{N}^{\alpha}|Y_{N},...,Y_{0}\right]$
[/mm]
Bis hier stimmt alles. Danach ist's logisch und formal Quatsch. [mm] $Y_N$ [/mm] ist [mm] $Y_N,\ldots,Y_0$ [/mm] meßbar, [mm] $e^\varepsilon$ [/mm] ist unabhängig davon. Wie war das nochmal mit den Rechenregeln für den bedingten Erwartungswert?
ciao
Stefan
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Na wegen der Unabhängigkeit kann ich den E-wert Faktorisieren, und dann geht es ja um einen statinären Prozess, und die Reichseite spielt eine Rolle. Ich verstehe nicht wo ich den Fehler begonnen hab. Da [mm] Y_{n+1} Y_N [/mm] messbar ist kann ich die Bedingung Fallenlassen...?
lg Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Di 22.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:46 Do 24.02.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Na wegen der Unabhängigkeit kann ich den E-wert Faktorisieren,
Das stimmt so nicht. Im allgemeinen reicht die Unabhängigkeit von X und Y für
$E(XY|Z)=E(X|Z)E(Y|Z)$
nicht
(einfaches Gegenbsp: X, Y iid Bernoulli; Z:=X+Y)
> und dann geht es ja um einen statinären Prozess,
spielt keine Rolle.
> und die Reichseite spielt eine Rolle.
Was ist eine Reichseite?
> Ich verstehe nicht wo ich den Fehler begonnen hab.
Hab ich exakt geschrieben.
>> [mm] \mathbb{E}\left[e^{\varepsilon}Y_{N}^{\alpha}|Y_{N},...,Y_{0}\right]=\mathbb{E}\left[e^{\varepsilon}\right]\mathbb{E}\left[(e^{\varepsilon}Y_{N-1}^{\alpha})^{\alpha}|Y_{N-1},...,Y_{0}\right]
[/mm]
Links stimmt noch, dann wird's Quatsch. Du willst die beste Vorhersage für [mm] $e^{\varepsilon}Y_N$ [/mm] unter der Annahme, daß Du [mm] $Y_N,\ldots, Y_0$ [/mm] kennst. Aber einen Schritt weiter läßt Du den bekannten Wert von [mm] $Y_N$ [/mm] überhaupt nicht mehr einfließen.
Die Rechnung stimmt auch formal nicht, weswegen ich Dir die Rechenregeln für den bedingten Erwartungswert ans Herz gelegt habe. Das kann ich nur wiederholen. Google danach, nutz Wikipedia oder schau Dir Dein Skript an.
> Da $ [mm] Y_{n+1}$ $Y_N [/mm] $ messbar ist kann ich die Bedingung Fallenlassen...?
??? Das ist ein Schreibfehler nehm ich an, aber ich hab keine Ahnung, was gemeint ist.
ciao
Stefan
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Die [mm]\varepsilon[/mm] sind unabhängig von den [mm]Y_i[/mm], daher kann ich doch faktorisieren, oder nicht?
Also was ich meine ist doch, dass wenn [mm]Y[/mm] bzgl. [mm]\sigma(X)[/mm] messbar ist, dann gilt [mm]\mathbb{E} [ Y | X \left]=\mathbb{E}\right[ Y \left][/mm] (Es heißt doch immer [mm]\mathbb{E} [ X | X \left]=\mathbb{E}\right[ X \left][/mm] ). Und da [mm]Y_{N+1}=e^{\varepsilon}*Y_N^\alpha[/mm] bzgl. [mm]Y_N[/mm] messbar ist, dachte ich, die Bedingung nach [mm]Y_N[/mm] kann weggelassen werden.
Wenn ich also nur Faktorisiere und die Bedingungen erhalte komme ich auf
[mm] Y_{N+1}^{\cdot{}}=\mathbb{E}\left[Y_{N+1}|Y_{N},...,Y_{0}\right]=\mathbb{E}\left[e^{\varepsilon}Y_{N}^{\alpha}|Y_{N},...,Y_{0}\right]=\mathbb{E}\left[e^{\varepsilon}\right]\mathbb{E}\left[(e^{\varepsilon}Y_{N-1}^{\alpha})^{\alpha}|Y_{N},...,Y_{0}\right]=...=\mathbb{E}\left[e^{\varepsilon}\right]\mathbb{E}\left[e^{\alpha\varepsilon}\right]...\mathbb{E}\left[e^{\alpha^{N-1}\varepsilon}\right]\mathbb{E}\left[Y_{o}^{\alpha^{N}} | Y_{N},...,Y_{0}\right]=\exp\left[\frac{\sigma^{2}}{2}\sum_{k=0}^{N-1}\alpha^{2k}\right]\mathbb{E}[Y_{o}^{N}|Y_{N},...,Y_{0}] [/mm]
Kann ich da noch iwas weiter machen?
Und noch eine Frage zum ersten: Warum reicht es zu zeigen dass ich den ln nicht reinziehen kann?
Danke schonmal
lg Kai
PS. Ich meinte Reichweite, sry für den Tippfehler. Für mich war es plausibel, dass bei einem stationären Prozess nur die Reichweite, und nicht die Ergebnisse von [mm]Y[/mm] selbst relevant sind.
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Brauche dringend eine Antwort!
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen!
lg Kai
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Do 24.02.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
zum 3. Mal:
$ [mm] Y_N [/mm] $ ist $ [mm] Y_N,\ldots,Y_0 [/mm] $ meßbar, $ [mm] e^\varepsilon [/mm] $ ist unabhängig davon. Wie war das nochmal mit den Rechenregeln für den bedingten Erwartungswert?
Wir sind ja noch nichtmal so weit, daß ich Dich kritisiere, weil Du Wikipedia als Quelle nimmst, anstatt ein präziseres Skript. Alles, was ich will ist, daß Du mal für 5 Minuten Wikipedia benutzt, denn was Du mit dem bedingten Erwartungswert machst ist, auch wenn Du's mehrmals wiederholst, immer noch falsch.
Weil ich ein netter Mensch bin, ist hier sogar der Link, denn Googlen ist harte Arbeit:
http://de.wikipedia.org/wiki/Bedingter_Erwartungswert
ciao
Stefan
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Okay, dann zieh ich das [mm]Y_N^\alpha[/mm] aus dem E-wert raus (da ja messbar), und übrig bleibt
[mm] Y_{N+1}^{\cdot{}}=\mathbb{E}\left[Y_{N+1}|Y_{N},...,Y_{0}\right]=\mathbb{E}\left[e^{\varepsilon}Y_{N}^{\alpha}|Y_{N},...,Y_{0}\right]=Y_N^\alpha\cdot \mathbb{E}\left[e^{\varepsilon}|Y_{N},...,Y_{0}\right]\underset{\text{unabhängig}}{=}Y_N^\alpha\cdot \mathbb{E}\left[e^{\varepsilon}\right][/mm]
Ist das jetzt besser?
lg Kai
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Do 24.02.2011 | | Autor: | Blech |
Das sieht schon viel, viel besser aus.
ciao
Stefan
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Besser oder gut?
Ist das jetzt die Lösung?
Wenn ja, könntest du mir dann noch kurz erklären warum bei der a reicht Jensen zu verwenden und damit eine Ungleichheit?
Danke schonmal!
lg Kai
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Sa 26.02.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
was ist denn eine verfälschte Prognose?
ciao
Stefan
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