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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:08 Mi 11.01.2012 | | Autor: | waruna |
| Aufgabe | Im Beweis des Satzes von gleimäßigen Beschränkheit in meinem Skript hat man folgende Aussage gemacht:
Seien T [mm] \in [/mm] L(X,Y), x [mm] \in [/mm] X, r>0. Dann:
[mm] r||T||\le [/mm] sup||T(y)||, mit [mm] y\in [/mm] B(x,r)
Mit einem Beweis:
Für [mm] a\in [/mm] X, ||a||<r:
[mm] ||T(a)||\le 1/2(||T(x+a)||+||T(x-a)||)\le [/mm] sup||T(y)||, mit [mm] y\in [/mm] B(x,r) |
Im Beweis sind für mich alle Schlüßfolgerungen klar, ich verstehe nur nicht warum sie die erste Ungleichung beweisen sollen:
[mm] r||T||\le [/mm] sup||T(y)||, mit [mm] y\in [/mm] B(x,r)
?
Es läßt sich schreiben:
[mm] ||T(a)||\le||a||||T||\le [/mm] r||T||
also Aussage, dass ||T(a)|| ist kleiner als etwas zeigt überhaupt nicht, dass r||T|| auch kleiner ist.
Ich habe folgende Frage nirgendwo anders gestellt.
Vielen Dank für eine Hilfe:) !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:58 Do 12.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Im Beweis des Satzes von gleimäßigen Beschränkheit in
> meinem Skript hat man folgende Aussage gemacht:
> Seien T [mm]\in[/mm] L(X,Y), x [mm]\in[/mm] X, r>0. Dann:
> [mm]r||T||\le[/mm] sup||T(y)||, mit [mm]y\in[/mm] B(x,r)
> Mit einem Beweis:
> Für [mm]a\in[/mm] X, ||a||<r:
> [mm]||T(a)||\le 1/2(||T(x+a)||+||T(x-a)||)\le[/mm] sup||T(y)||, mit
> [mm]y\in[/mm] B(x,r)
> Im Beweis sind für mich alle Schlüßfolgerungen klar,
> ich verstehe nur nicht warum sie die erste Ungleichung
> beweisen sollen:
> [mm]r||T||\le[/mm] sup||T(y)||, mit [mm]y\in[/mm] B(x,r)
> ?
> Es läßt sich schreiben:
> [mm]||T(a)||\le||a||||T||\le[/mm] r||T||
> also Aussage, dass ||T(a)|| ist kleiner als etwas zeigt
> überhaupt nicht, dass r||T|| auch kleiner ist.
> Ich habe folgende Frage nirgendwo anders gestellt.
> Vielen Dank für eine Hilfe:) !
>
Sei $s:= sup [mm] \{||Ty||: y \in B(x,r)\}$
[/mm]
Die letzte Ungl. lautet also:
$||Ta|| [mm] \le [/mm] s$ für alle a [mm] \in [/mm] X mit ||a||<r
Es folgt:
(*) $||Ta|| [mm] \le [/mm] s$ für alle a [mm] \in [/mm] X mit ||a|| [mm] \le [/mm] r
Sei nun b [mm] \in [/mm] X und ||b||=1. Setze a:=rb. Aus (*) folgt:
$r||Tb||=||T(rb)||=||Ta|| [mm] \le [/mm] s$
Gehe nun links zum Supremum über alle normierten b über und Du bekommst:
$r||T|| [mm] \le [/mm] s$
FRED
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