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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Mo 12.12.2005 | | Autor: | dump_0 |
Hallo. Endlich komme ich mal wieder rein in das Board, andauernd war der Server überlastet, zum glück gehts jetzt aber wieder, bin ich froh :) :D
Also ich habe 2 kleine Aufgaben wo ich mir nich sicher bin ob ich sie so lösen kann, wenn ihr mir helfen würdet, wäre das natürlich super :)
Aufg.5) Seien A und B zwei bel. Mengen. Seien f und g zwei Funktionen auf A und B:
f: A [mm] \to [/mm] B, g: A [mm] \to [/mm] B
Sind folgende Operationen wieder eine Funktion ?
a) f [mm] \cap [/mm] g
b) f [mm] \cup [/mm] g
c) f \ g
d) f [mm] \Delta [/mm] g
e) [mm] \overline{f}
[/mm]
Meine Vorschläge: a), b), d)
a) f und g bestehen ja aus b [mm] \in [/mm] B, wenn man diese 2 Mengen schneidet kommt wieder ne Menge raus die wieder b [mm] \in [/mm] B enthält, ausser halt die leere Menge
b) Naja die Vereinigung sollte wieder b [mm] \in [/mm] B enthalten, also sollte es ne Funktion geben
d) ist ja die Identität, wenn ich das richtig verstehe wird dann ein b [mm] \in [/mm] B nach B abgebildet, was ja eine Funktion darstellt, halt die Identitätsfunktion
Aufg. 7)
Sei f: A [mm] \to [/mm] B eine bel. Funktion und sei M [mm] \subseteq [/mm] A. Ist M abzählbar, so ist auch f(M) := {f(x) | x [mm] \in [/mm] M} abzählbar.
Hier habe ich leider keine Ahnung wie ich das zeigen soll. Wenn M abzählbar ist, ex. ja eine bijektive Abb von [mm] \IN \to [/mm] M. Da f(M) max. gleichmächtig wie M sein kann, sollte hier auch eine bijektive Abb. [mm] \IN \to [/mm] f(M) existieren. Ich weiß aber nicht ob man das einfach so sagen kann bzw. ob es so stimmt.
Ich würd mich freuen wenn ihr mir helfen könntet :)
Grüße
[mm] dump_0
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Hallo [mm] Dump_0,
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[mm] f\colon A\to [/mm] B ist eine Menge von Paaren, naemlich eine Teilmenge
[mm] f\subset A\times [/mm] B [mm] =\{(a,b)|a\in A, b\in B\}. [/mm] Die Aufgabenstellung verlangt
dann die Betrachtung von Schnittmengen etc solcher Mengen. So ist zB
[mm] f\cap [/mm] g [mm] =\{(a,b)| a\in A und f(a)=g(a)=b\}
[/mm]
[mm] f\subset A\times [/mm] B heisst ja Funktion genau dann, wenn es zu jedem [mm] a\in [/mm] A hoechstens
ein [mm] b\in [/mm] B mit [mm] (a,b)\in [/mm] f gibt, und total, falls statt hoechstens sogar ''genau'' gilt.
Dann ist zB [mm] f\cap [/mm] g sicherlich wieder eine -wenn auch nicht notwendig totale- Funktion ,
waehrend [mm] f\cup [/mm] g im allg. keine Funktion mehr ist (Bsp: f(1)=2, g(1)=3).
Zu Aufg. 7: M abzaehlb. heisst ja, dass es eine Surjektion [mm] s:\IN\to [/mm] M gibt.
Dann ist [mm] f\circ s:\IN\to [/mm] f(M) , [mm] n\mapsto [/mm] f(s(n)) auch surjektiv und damit f(M) abz.
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Di 13.12.2005 | | Autor: | dump_0 |
Hallo.
Also ich habe die erste Aufg. jetzt so gemacht wie dus gechrieben hast, dabei bin ich zu den Ergebnisssen gekommen, das a) und c) wieder Funktionen sind. Bei der Identitätsfunktion weiß ich leider nicht wie ich mir das vorstellen soll mit den Paaren (a,b) etwa f(a) = a ???
Bei [mm] \overline{f} [/mm] wäre das dann ja so def. [mm]\overline{f} := {(a,b)| a \in A \wedge f(a) \not= b}[/mm] oder ? Das wäre ja dann keine Funktion denke ich.
Bei der 2. Aufgabe müsste es dann nicht [mm]s \circ f[/mm] heißen ? Weil [mm]s: IN \to M[/mm] und [mm]f: M \to f(M)[/mm] ??
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Hallo,
bei der Komposition von Funktionen ist es Vereinbarung, ob man bei
[mm] f:A\to [/mm] B, [mm] g:B\to [/mm] C [mm] g\circ [/mm] f (so wie ich) oder [mm] f\circ [/mm] g (so wie Du) schreibt.
Halte Dich da ruhig an die von Euch in der entspr. Lehrveranstaltung benutzte Konvention.
[mm] \overline{f} =\{ (a,b)| a\in A\wedge (a,b)\not\in f\}=\{(a,b)|a\in A\wedge f(a)\neq b\}
[/mm]
ist richtig, dies ist eine Funktion genau dann, wenn [mm] |B|\leq [/mm] 2 (die leere Menge von
Paaren ist mengentheoretisch gesehen auch eine Funktion).
Die Identitaet auf einer Menge A ist die Fkt. [mm] f\colon A\to [/mm] A (d.h. es muss B=A oder
zumindest [mm] A\subseteq [/mm] B gelten), dann:
id [mm] =\{(a,a)|a\in A\}
[/mm]
Gruss,
Mathias
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