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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Es ist [mm] $\IN$ [/mm] partiell geordnet bzgl. Teilbarkeit. [mm] $(\IZ/n\IZ)_{n \in \IN}$ [/mm] wird projektives System mit den kanonischen Epimorphismen [mm] $f_{mn}:\IZ/n\IZ \to \IZ/m\IZ$ [/mm] wenn $m|n$. Wir setzen [mm] $\hat{\IZ} [/mm] = [mm] \underleftarrow{lim}\:\IZ/n\IZ$.
[/mm]
Zeigen Sie:
Die offenen Untergruppen von [mm] $\hat{\IZ}$ [/mm] sing gerade die Untergruppen der Gestalt [mm] $n\hat{\IZ}$ [/mm] für $n [mm] \in \IN$. [/mm] |
Hallo,
bin mal wieder am Verzweifeln an meinem Algebrazettel. Topologische Gruppen bereiten mir noch ziemliche Schwierigkeiten.
Ich versuche mal zu formulieren, was ich meine verstanden zu haben. Das ist leider nicht allzu viel.
Ich kann [mm] $\hat{\IZ}$ [/mm] auch schreiben als [mm] $\{(z_n)_{n \in \IN} \in \produkt_{n \in \IN}\IZ/n\IZ \;|\; f_{mn}(z_n)=z_m, m|n\}$. [/mm] Ich hoffe das ist erstmal richtig soweit.
[mm] $\hat{\IZ}$ [/mm] ist mit der von [mm] $\produkt_{n \in \IN}\IZ/n\IZ$ [/mm] induzierten Topologie versehen, wobei letzteres mit der Produktopologie der diskreten Topologien auf den [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] versehen ist.
Um nun erstmal zu zeigen, dass [mm] $n\hat{\IZ}$ [/mm] offen ist, muss ich zeigen, dass es sich um eine Vereinigung von Urbildern offener Mengen handelt unter den Projektionen [mm] $\produkt_{n \in \IN}\IZ/n\IZ \to \IZ/i\IZ$.
[/mm]
Ich weiß nun leider gar nicht, wie ich anfangen soll. Könnte mir jemand einen Ansatz geben?
LG Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:47 So 08.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Lippel!
> Es ist [mm]\IN[/mm] partiell geordnet bzgl. Teilbarkeit.
> [mm](\IZ/n\IZ)_{n \in \IN}[/mm] wird projektives System mit den
> kanonischen Epimorphismen [mm]f_{mn}:\IZ/n\IZ \to \IZ/m\IZ[/mm] wenn
> [mm]m|n[/mm]. Wir setzen [mm]\hat{\IZ} = \underleftarrow{lim}\:\IZ/n\IZ[/mm].
>
> Zeigen Sie:
> Die offenen Untergruppen von [mm]\hat{\IZ}[/mm] sing gerade die
> Untergruppen der Gestalt [mm]n\hat{\IZ}[/mm] für [mm]n \in \IN[/mm].
>
> Hallo,
>
> bin mal wieder am Verzweifeln an meinem Algebrazettel.
> Topologische Gruppen bereiten mir noch ziemliche
> Schwierigkeiten.
> Ich versuche mal zu formulieren, was ich meine verstanden
> zu haben. Das ist leider nicht allzu viel.
>
> Ich kann [mm]\hat{\IZ}[/mm] auch schreiben als [mm]\{(z_n)_{n \in \IN} \in \produkt_{n \in \IN}\IZ/n\IZ \;|\; f_{mn}(z_n)=z_m, m|n\}[/mm].
Nennen wir diese Menge mal $X$.
> Ich hoffe das ist erstmal richtig soweit.
Soweit ich mich erinnern kann ja :)
> [mm]\hat{\IZ}[/mm] ist mit der von [mm]\produkt_{n \in \IN}\IZ/n\IZ[/mm]
> induzierten Topologie versehen, wobei letzteres mit der
> Produktopologie der diskreten Topologien auf den [mm]\IZ/n\IZ[/mm]
> versehen ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Eine Menge in [mm] $\prod_n \IZ/n\IZ$ [/mm] ist genau dann offen, wenn sie von der Form [mm] $\prod_n U_n$ [/mm] ist, wobei [mm] $U_n [/mm] = [mm] \IZ/n\IZ$ [/mm] fuer fast alle $n$ ist (die restlichen [mm] $U_n$ [/mm] sind beliebig, da [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] mit der diskreten Topologie ausgestattet ist).
> Um nun erstmal zu zeigen, dass [mm]n\hat{\IZ}[/mm] offen ist, muss
> ich zeigen, dass es sich um eine Vereinigung von Urbildern
> offener Mengen handelt unter den Projektionen [mm]\produkt_{n \in \IN}\IZ/n\IZ \to \IZ/i\IZ[/mm].
Nein, das geht nicht (denke ich), da $X$ in [mm] $\prod_n \IZ/n\IZ$ [/mm] nicht offen ist.
Du musst zeigen, dass es eine offene Menge in [mm] $\prod_n \IZ/n\IZ$ [/mm] gibt, deren Schnitt mit $X$ gerade $n X$ ist.
Du kannst auch benutzen, dass die induzierte Topologie auf $X$ gleich der Initialtopologie ist: es ist die groebste Topologie auf $X$, bzgl. der die Projektionen $X [mm] \to \IZ/n\IZ$ [/mm] alle stetig sind. Du musst also zeigen, dass $n X$ eine Vereinigung von Urbildern offener Mengen handelt unter den Projektionen $X [mm] \to \IZ/n\IZ$.
[/mm]
Ist $n X$ eventuell das Urbild von [mm] $\{ 0 \}$ [/mm] unter $X [mm] \to \IZ/n\IZ$? [/mm] Denk mal drueber nach, ich hab grad keine Lust zuviel darueber nachzudenken 
LG Felix
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