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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:50 Do 29.10.2009 | | Autor: | math101 |
| Aufgabe | Sei (X, [mm] \rho) [/mm] ein metrischer Raum, und [mm] M\in [/mm] Xwird als metrischer Unterraum [mm] (M,\rho_{M\times M}) [/mm] betrachtet.
Zeigen Sie, [mm] U\in [/mm] M in [mm] (M,\rho_{M\times M}) [/mm] offen [mm] \gdw \exists G\in [/mm] X offen in (X, [mm] \rho [/mm] ) so dass [mm] U=G\cap [/mm] M. |
Hallo!!
Konfrontiere gerade mit der Aufgabe.
[mm] '\Rightarrow' [/mm] : [mm] U\in [/mm] M in [mm] (M,\rho_{M\times M}) [/mm] offen [mm] \Rightarrow \forall x\in [/mm] U [mm] \exists [/mm] r>0 mit [mm] B(x,r)\subset [/mm] M. Im Hinweis zu der Aufgabe steht, wir müssen [mm] G=\cup \{ B(x,r):x\in M, B(x,r)\cap M\subset U\} [/mm] verwenden, aber irgendwie fehlt es mir an Argumentationen.
Ich freue mich auf jede Antwort.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:23 Fr 30.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Ja du musst natürlich in der Notation mit angeben ob du jetzt einen Ball in $M$ oder in $X$ meinst. Jedenfalls ist dein Ansatz schon nicht schlecht, ist [mm] $U\subset [/mm] M$ offen in M, dann gibt es zu jedem [mm] $x\in [/mm] U$ ein [mm] $B^M_r(x)\subset [/mm] U$. Nun setze [mm] $G:=\bigcup_{x\in U} B^X_r(x)\subset [/mm] X$. Das ist als Vereinigung offener Mengen offen in X und nach Konstruktion ist [mm] $G\cap [/mm] M=U$.
Gruß, Robert
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:13 Fr 30.10.2009 | | Autor: | math101 |
Hallo, pelzig!!!Vielen-vielen dank für deine Antwort!!
> ist [mm]U\subset M[/mm] offen in M,
> dann gibt es zu jedem [mm]x\in U[/mm] ein [mm]B^M_r(x)\subset U[/mm].
Das meinte ich, dass die Kugeln in M liegen.
> Nun setze [mm]G:=\bigcup_{x\in U} B^X_r(x)\subset X[/mm]. Das ist als
> Vereinigung offener Mengen offen in X und nach Konstruktion
> ist [mm]G\cap M=U[/mm].
Ist damit dann der Beweis der 'Hin'richtung fertig?
[mm] "\Leftarrow" [/mm]
Es existiert offene Menge G mit [mm] G\cap{M}=U. [/mm] Sei [mm] G=\bigcup_{x\in U} B_r^X(x)\subset{X} [/mm] mit [mm] \forall x\in{M}: B_r^X(x) \cap{M}\subset{U}, [/mm] da [mm] G\cap{M} [/mm] offen [mm] \Rightarrow [/mm] U ist auch offen.
Kann ich den Rückrichtungbeweis so argumentieren?
Vielen Dank noch mal für deine Hilfe?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 So 01.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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