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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 So 14.10.2012 | | Autor: | Sauri |
| Aufgabe | a) Zeigen, dass folgendes gilt: P(M [mm] \cup [/mm] N) [mm] \supset [/mm] P(M) [mm] \cup [/mm] P(N)
b) Und: Wann gilt hier die Gleicheit?
P ist die Potenzmenge. |
Hallo Leute ich arbeite gerade an der obigen Aufgabe. Wir hatten in der Vorlesung nicht über Obermengen gesprochen. Was ich bisher im Internet gelesen habe, klang aber sehr einfach.
z. B. Wikipedia: Bei der Bildung der Vereinigungsmenge erhält man stets eine Obermenge A [mm] \cup [/mm] B [mm] \supseteq [/mm] A
a) Mein Lösungsvorschlag:
sei x [mm] \varepsilon [/mm] (P(M) [mm] \cup [/mm] P(N)) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] P(M [mm] \cup [/mm] N)
Ganz einfach weil bei jeder Vereinigung eine Obermenge entsteht? x also zwingend Teil eben dieser Obermenge ist?
b) Ja, und wann sind beide gleich? Wenn der Linke ausdrucke Teilmenge vom Rechten ist und andersherum?
Sehr komische Aufgabenstellung... Vielen dank für alle Antworten!
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> a) Zeigen, dass folgendes gilt: P(M [mm]\cup[/mm] N) [mm]\supset[/mm] P(M)
> [mm]\cup[/mm] P(N)
>
> b) Und: Wann gilt hier die Gleicheit?
>
> P ist die Potenzmenge.
> a) Mein Lösungsvorschlag:
> sei x [mm]\varepsilon[/mm] (P(M) [mm]\cup[/mm] P(N)) [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\varepsilon[/mm] P(M [mm]\cup[/mm] N)
Hallo,
ja, das ist zu zeigen.
> Ganz einfach weil bei jeder Vereinigung eine Obermenge
> entsteht? x also zwingend Teil eben dieser Obermenge ist?
Du studierst offenbar gerade Mathematik.
Daher ist es unbedingt notwendig, daß Du Dich klar ausdrückst.
Weiter mußt Du wissen, daß der Schlüssel zur Lösung solcher Aufgäbelchen die Definitionen sind, die in der Vorlesung vorkamen.
Du schreibst, daß x Teil einer Menge ist. Was meinst Du damit? Teilmenge? Element? Oben schreibst Du: Element.
Starten wir mal. Wir wollen zeigen, daß aus [mm] x\in P(M)\cup [/mm] P(N) folgt, daß [mm] x\in P(N\cup [/mm] M).
Sei also
[mm] x\in P(M)\cup [/mm] P(N)
Nach Definition der Vereinigungsmenge folgt hieraus
[mm] x\in [/mm] P(M) oder [mm] x\in [/mm] P(N).
Was bedeutet es, daß x in der Potenzmenge von M und in der Potenzmenge von N ist? Bemühe die Def. der Potenzmenge, dort findest Du Antwort.
Es folgt
....
==> [mm] x\subseteq [/mm] ...
==> [mm] x\in [/mm] ...
Versuch's mal!
>
> b) Ja, und wann sind beide gleich? Wenn der Linke ausdrucke
> Teilmenge vom Rechten ist und andersherum?
Ja, natürlich, so ist Gleichheit von Mengen definiert.
Du sollst aber nun sagen, wie M und N gemacht sein müssen, damit Gleichheit gilt.
Nimm mal z.B. [mm] M:=\{a,b\}, N:=\{b,c\}.
[/mm]
Was ist [mm] P(M)\cup [/mm] P(N),
was ist [mm] P(M\cup [/mm] N)?
Was mußt Du verändern, damit Du Gleichheit hast?
Wenn Du eine Idee hast, versuche einen Beweis.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 So 14.10.2012 | | Autor: | Sauri |
Sei also
$ [mm] x\in P(M)\cup [/mm] $ P(N)
Nach Definition der Vereinigungsmenge folgt hieraus
$ [mm] x\in [/mm] $ P(M) und $ [mm] x\in [/mm] $ P(N).
Aus der Vereinigung geht hervor das:
x [mm] \varepsilon [/mm] M [mm] \vee [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] N ist. Die Vereinigung beutet in der Aussagenlogik "oder". Was du beschrieben hast gilt für M [mm] \cap [/mm] N - oder vertue ich mich da jetzt?
zu a) Die Überlegung war jetzt ja wenn x [mm] \varepsilon [/mm] (P(M) [mm] \cup [/mm] P(N)) ist. Unabhängig davon, ob es jetzt Element von P(M) oder aber Element von P(N) ist - in jedem Fall ist es auch Element der Obermenge.
In jedem Fall danke für deine Antwort!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 So 14.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei also
> [mm]x\in P(M)\cup[/mm] P(N)
>
> Nach Definition der Vereinigungsmenge folgt hieraus
> [mm]x\in[/mm] P(M) und [mm]x\in[/mm] P(N).
Nein, sondern: [mm]x\in[/mm] P(M) oder [mm]x\in[/mm] P(N)
>
> Aus der Vereinigung geht hervor das:
> x [mm]\varepsilon[/mm] M [mm]\vee[/mm] x [mm]\varepsilon[/mm] N ist.
Nein, das stimmt nicht.
[mm]x\in[/mm] P(M) bedeutet: x ist Teilmenge von M.
FRED
> Die Vereinigung
> beutet in der Aussagenlogik "oder". Was du beschrieben
> hast gilt für M [mm]\cap[/mm] N - oder vertue ich mich da jetzt?
>
> zu a) Die Überlegung war jetzt ja wenn x [mm]\varepsilon[/mm] (P(M)
> [mm]\cup[/mm] P(N)) ist. Unabhängig davon, ob es jetzt Element von
> P(M) oder aber Element von P(N) ist - in jedem Fall ist es
> auch Element der Obermenge.
>
> In jedem Fall danke für deine Antwort!
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 So 14.10.2012 | | Autor: | Sauri |
Also ich glaube ich komme gerade nicht weiter damit.
x [mm] \varepsilon [/mm] P(M) heißt also x [mm] \subseteq [/mm] M
was bedeutet denn dann x [mm] \varepsilon [/mm] (P(M) [mm] \cup [/mm] P(N)) ?
x ist Teilmenge von M oder aber von N?
Wie verfahre ich denn am besten weiter?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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> Also ich glaube ich komme gerade nicht weiter damit.
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> x [mm]\varepsilon[/mm] P(M) heißt also x [mm]\subseteq[/mm] M
Hallo,
das sit so, weil die Potenzmenge so definiert ist.
>
> was bedeutet denn dann x [mm]\varepsilon[/mm] (P(M) [mm]\cup[/mm] P(N)) ?
Es bedeutet: [mm] x\in [/mm] P(M) oder [mm] x\in [/mm] P(N),
also [mm] x\subseteq [/mm] M oder ... .
Du mußt doch bloß die Def. von "Potenzmenge von N" anwenden.
>
> x ist Teilmenge von M oder aber von N?
>
> Wie verfahre ich denn am besten weiter?
Du überlegst Dir das Ziel, schreibst es unten aufs Blatt und überlegst, wie Du dorthin kommst.
Manchmal hilft es, mal zwei,drei Zeilen von unten nach oben zu arbeiten.
LG Angela
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 So 14.10.2012 | | Autor: | Sauri |
Aus x [mm] \varepsilon [/mm] P(M) folgt: x [mm] \subseteq [/mm] M : P(M) = {0 , {x}}
Ist x [mm] \varepsilon [/mm] P(N) folgt: x [mm] \subseteq [/mm] N : P(N) = {0 , {x}}
also ist z. b: P(M): P(M) [mm] \supseteq [/mm] P(M [mm] \cup [/mm] N)
gleiches würde auch gelten wenn x [mm] \varepsilon [/mm] P(N) ist.
Und weil das so ist gilt auch x [mm] \varepsilon [/mm] P(M [mm] \cup [/mm] N) ???
oder ist das zu einfach gedacht??
In jedem Fall: Ganz dickes Dankeschön!
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> Aus x [mm]\varepsilon[/mm] P(M) folgt: x [mm]\subseteq[/mm] M : P(M) = {0 ,
> {x}}
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> Ist x [mm]\varepsilon[/mm] P(N) folgt: x [mm]\subseteq[/mm] N : P(N) = {0 ,
> {x}}
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> also ist z. b: P(M): P(M) [mm]\supseteq[/mm] P(M [mm]\cup[/mm] N)
> gleiches würde auch gelten wenn x [mm]\varepsilon[/mm] P(N) ist.
>
> Und weil das so ist gilt auch x [mm]\varepsilon[/mm] P(M [mm]\cup[/mm] N)
> ???
>
> oder ist das zu einfach gedacht??
Hallo,
nein. Das ist nicht einfach gedacht, sondern ganz kraus.
Aufgepaßt: gewöhn Dir unbedingt an, nichts zu schreiben, was Du nicht mit einer Nr. aus dem Skript/VL begründen kannst.
Hierfür
> Aus x [mm] $\varepsilon$ [/mm] P(M) folgt: x [mm] $\subseteq$ [/mm] M : P(M) = {0 , {x}}
wirst Du keine Begründung finden.
Richtig ist :
aus x [mm] $\varepsilon$ [/mm] P(M) folgt: x [mm] $\subseteq$ [/mm] M. Basta.
Dafür findest Du auch eine Begründung, nämlich die Def. der Potenzmenge.
Die Potenzmenge von M, P(M), enthält als Elemente alle Teilmengen von M. Also ist, da x ein Element von P(M) ist, dieses x eine Teilmenge von M.
Ich mache Dir jetzt den Beweis vor, damit Du mal siehst, wie das geht.
Behauptung:
P(M) $ [mm] \cup [/mm] $ P(N) [mm] \subseteq P(M\cup [/mm] N).
Zu zeigen ist dafür:
[mm] x\in [/mm] P(M) $ [mm] \cup [/mm] $ P(N) ==> [mm] x\in P(M\cup [/mm] N)
Beweis:
Sei [mm] x\in [/mm] P(M) $ [mm] \cup [/mm] $ P(N).
Nach Def. der Vereinigungsmenge folgt
[mm] x\in [/mm] P(M) oder [mm] x\in [/mm] P(N).
Nach Def. der Potenzmenge folgt
[mm] x\subseteq [/mm] M oder [mm] x\subseteq [/mm] N.
Wenn das so ist, dann gilt aufgrund der Def. der Vereinigung
[mm] x\subseteq (M\cup N).(\*)
[/mm]
Und nun kommt wieder die Def. der Potenzmenge. Es folgt
[mm] x\in P(M\cup [/mm] N).
Und damit hast Du's. Über [mm] (\*) [/mm] mußt Du vielleicht etwas genauer nachdenken. Kannst Dir's ja mal an einem Beispiel klarmachen. Das hat zwar keine Beweiskraft, ist aber fürs verständnis doch oft nützlich.
LG Angela
>
> In jedem Fall: Ganz dickes Dankeschön!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 So 14.10.2012 | | Autor: | Sauri |
Hallo Angela, vielen vielen Dank für deine ausführlichen Antworten!
Ich versuche mich jetzt mal an der Gleichheit!!!
Tausend Dank!
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