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| Aufgabe | Gegeben sei der Kegelmantel
[mm] $$M=\{\(x,y,z)\in\IR^3 | x^2+y^2\le 1, z=\wurzel{x^2+y^2}\}.$$
[/mm]
a.) Berechnen Sie die Oberfläche von M unter Verwendung Kartesischer- und Polarkoordinaten. |
Hallo!!
Ich fange mal mit den Polarkoordinaten an.
Parametrisierung: [mm] $X(r,\varphi)=(r\cos\varphi, r\sin\varphi, [/mm] r)$ [mm] $r\in [/mm] [0,1] [mm] \;\; \varphi\in [0,2\pi)$
[/mm]
[mm] $X_r=(\cos\varphi, \sin\varphi, [/mm] 1)$
[mm] $X_{\varphi}=(-r\sin\varphi, r\cos\varphi, [/mm] 0)$
[mm] $X_r\times X_{\varphi}=(-r\cos\varphi,-r\sin\varphi, [/mm] r)$
[mm] $\|X_r\times X_{\varphi}\| [/mm] = [mm] \wurzel{2}r$
[/mm]
Nun gilt dann für die Oberfläche:
[mm] $\iint\|X_r\times X_{\varphi}\| \; dr\; d\varphi$
[/mm]
Also hier:
[mm] $\int_0^1\int_0^{2\pi} \wurzel{2}r \; d\varphi \; [/mm] dr = [mm] 2\pi [/mm] * [mm] \wurzel{2} [/mm] * [mm] \frac{1}{2}r^2 |_{r=0}^{r=1} [/mm] = [mm] \wurzel{2} \pi$
[/mm]
Stimmt das soweit?
Bei der Berechnung in kartesischen Koordinaten komme ich leider nicht weiter. Ich weiß auch nicht genau, wie ich das parmetriesieren muss. Mein Versuch:
[mm] X(x,y)=(x,\wurzel{1-x^2},\wurzel{x^2+y^2})
[/mm]
Das wird aber im weiteren Verlauf der Rechnung ziemlich kompliziert. Wie sollte ich da am Besten vorgehen?
Danke, viele Grüße
Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Do 09.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei der Kegelmantel
> [mm]M=\{\(x,y,z)\in\IR^3 | x^2+y^2\le 1, z=\wurzel{x^2+y^2}\}.[/mm]
>
> a.) Berechnen Sie die Oberfläche von M unter Verwendung
> Kartesischer- und Polarkoordinaten.
> Hallo!!
>
> Ich fange mal mit den Polarkoordinaten an.
>
> Parametrisierung: [mm]X(r,\varphi)=(r\cos\varphi, r\sin\varphi, r)[/mm]
> [mm]r\in [0,1] \;\; \varphi\in [0,2\pi)[/mm]
>
> [mm]X_r=(\cos\varphi, \sin\varphi, 1)[/mm]
>
> [mm]X_{\varphi}=(-r\sin\varphi, r\cos\varphi, 0)[/mm]
>
> [mm]X_r\times X_{\varphi}=(-r\cos\varphi,-r\sin\varphi, r)[/mm]
>
> [mm]\|X_r\times X_{\varphi}\| = \wurzel{2}r[/mm]
>
> Nun gilt dann für die Oberfläche:
> [mm]\iint\|X_r\times X_{\varphi}\| \; dr\; d\varphi[/mm]
>
> Also hier:
>
> [mm]\int_0^1\int_0^{2\pi} \wurzel{2}r \; d\varphi \; dr = 2\pi * \wurzel{2} * \frac{1}{2}r^2 |_{r=0}^{r=1} = \wurzel{2} \pi[/mm]
>
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> Stimmt das soweit?
>
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> Bei der Berechnung in kartesischen Koordinaten komme ich
> leider nicht weiter. Ich weiß auch nicht genau, wie ich das
> parmetriesieren muss. Mein Versuch:
>
> [mm]X(x,y)=(x,\wurzel{1-x^2},\wurzel{x^2+y^2})[/mm]
Das verstehe ich nicht !
Ich würde so parametrisieren:
[mm]X(x,y)=(x,y,\wurzel{x^2+y^2})[/mm] für [mm] x^2+y^2 \le [/mm] 1
Edit: obiges ist nicht richtig !
Parametrisiere so: [mm]X(x,y)=\wurzel{x^2+y^2}[/mm] für [mm] x^2+y^2 \le [/mm] 1
FRED
>
> Das wird aber im weiteren Verlauf der Rechnung ziemlich
> kompliziert. Wie sollte ich da am Besten vorgehen?
>
>
> Danke, viele Grüße
> Patrick
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Hallo Fred,
> >
> > Bei der Berechnung in kartesischen Koordinaten komme ich
> > leider nicht weiter. Ich weiß auch nicht genau, wie ich das
> > parmetriesieren muss. Mein Versuch:
> >
> > [mm]X(x,y)=(x,\wurzel{1-x^2},\wurzel{x^2+y^2})[/mm]
>
> Das verstehe ich nicht !
>
> Ich würde so parametrisieren:
>
> [mm]X(x,y)=(x,y,\wurzel{x^2+y^2})[/mm] für [mm]x^2+y^2 \le[/mm] 1
>
> Edit: obiges ist nicht richtig !
Wieso ist das nicht richtig? Also ich finds gut und ich komme damit auch auf [mm] \wurzel{2}\pi [/mm] als Ergebnis. Das würde also passen.
>
>
> Parametrisiere so: [mm]X(x,y)=\wurzel{x^2+y^2}[/mm] für [mm]x^2+y^2 \le[/mm]
> 1
>
Das verstehe ich nicht, muss ich nicht eine Abbildung [mm] \IR^2\to\IR^3 [/mm] haben?
>
>
> FRED
>
>
Gruß Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Do 09.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> > >
> > > Bei der Berechnung in kartesischen Koordinaten komme ich
> > > leider nicht weiter. Ich weiß auch nicht genau, wie ich das
> > > parmetriesieren muss. Mein Versuch:
> > >
> > > [mm]X(x,y)=(x,\wurzel{1-x^2},\wurzel{x^2+y^2})[/mm]
> >
> > Das verstehe ich nicht !
> >
> > Ich würde so parametrisieren:
> >
> > [mm]X(x,y)=(x,y,\wurzel{x^2+y^2})[/mm] für [mm]x^2+y^2 \le[/mm] 1
> >
> > Edit: obiges ist nicht richtig !
>
> Wieso ist das nicht richtig? Also ich finds gut und ich
> komme damit auch auf [mm]\wurzel{2}\pi[/mm] als Ergebnis. Das würde
> also passen.
>
> >
> >
> > Parametrisiere so: [mm]X(x,y)=\wurzel{x^2+y^2}[/mm] für [mm]x^2+y^2 \le[/mm]
> > 1
> >
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> Das verstehe ich nicht, muss ich nicht eine Abbildung
> [mm]\IR^2\to\IR^3[/mm] haben?
Was ich Dir angegeben habe ist eine explizite Parametrisierung der Fläche
FRED
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> >
> > FRED
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> >
>
> Gruß Patrick
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:46 Do 09.04.2009 | | Autor: | XPatrickX |
Achso jetzt habe ich es verstanden. Einmal gehts nur um die Funktion [mm] f(x,y)=\wurzel{x^2+y^2} [/mm] und dann um die Parametrisierung der Funktion, also $X(x,y)=(x,y,f(x,y))$.
Aber beides kommt ja auf das Gleiche hinaus, da sich bei Funktion der Ausdruck [mm] $\|X_x\times X_y\|$ [/mm] "vereinfacht" zu [mm] $\wurzel{1+|\nabla f|^2}
[/mm]
Danke auf jeden Fall.
Gruß Patrick
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:02 Fr 10.04.2009 | | Autor: | fred97 |
So ist es
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Do 09.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Parametrisiere so wie ich es Dir oben gesagt habe. Sei K:= { (x,y): [mm] x^2+y^2 \le1 [/mm] }
Dann ist die Oberfläche =
[mm] $\integral_{K}^{b}{\wurzel{1+X_x^2+X_y^2} d(x,y)} [/mm] = [mm] \integral_{K}^{b}{\wurzel{2} d(x,y)} [/mm] = [mm] \wurzel{2} \pi$
[/mm]
FRED
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