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| Aufgabe | Sei [mm] (V,<,>) [/mm] ein euklidischer Vektorraum und [mm] ||...||:V\rightarrow\mathbb{R}[/mm] die induzierte Norm.
(a) Sei [mm] (v_{1},...,v_{n}) [/mm] eine ON-Basis von V. Man zeige, dass [mm] \forall v,w\in V [/mm]gilt:
[mm]=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}.[/mm]
(b) Sei [mm] (v_{1},...,v_{r})[/mm] ein Orthonormalsystem von V. Es gelte:
[mm] ||v||^{2}=\overset{r}{\underset{i=1}{\sum}}^{2}\,\,\,\,\forall v\in V [/mm].
Man zeige, dass [mm] (v_{1},...,v_{r})[/mm] eine ON-Basis von V ist. |
Hallo,
also ich weiß, dass orthonormale Vektoren paarweise senkrecht aufeinander stehen und jeweils die Norm eins besitzen.
Damit gilt dann für das Skalarprodukt: [mm] \langle v_i, v_j\rangle [/mm] = [mm] \delta_{ij}.
[/mm]
Ich habe bei (a) die Vektoren v und w als Linearkombination der Basisvektoren geschrieben, also etwa so:
[mm] \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}v_{i}=v\,\,\,\lambda_{i}\in\mathbb{R} [/mm] für [mm] i\in\{1,...,n\}[/mm] und entsprechend dann für w (nur anstelle von lambdas stehen da müs).
Ich hab dann versucht das in die rechte Seite meiner Gleichung einzusetzen und umzuformen, bis am Ende [mm] [/mm] da steht.
Das hat aber nicht geklappt.
Ist das Vorgehen so richtig? Gibt es dabei irgendwelche Tricks, auf die ich besonders achten muss?
Und zu b habe ich bis jetzt noch keinen Ansatz.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:30 Do 22.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei [mm](V,<,>)[/mm] ein euklidischer Vektorraum und
> [mm]||...||:V\rightarrow\mathbb{R}[/mm] die induzierte Norm.
>
> (a) Sei [mm](v_{1},...,v_{n})[/mm] eine ON-Basis von V. Man zeige,
> dass [mm]\forall v,w\in V [/mm]gilt:
>
> [mm]=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}.[/mm]
>
> (b) Sei [mm](v_{1},...,v_{r})[/mm] ein Orthonormalsystem von V. Es
> gelte:
>
> [mm]||v||^{2}=\overset{r}{\underset{i=1}{\sum}}^{2}\,\,\,\,\forall v\in V [/mm].
>
> Man zeige, dass [mm](v_{1},...,v_{r})[/mm] eine ON-Basis von V ist.
> Hallo,
>
> also ich weiß, dass orthonormale Vektoren paarweise
> senkrecht aufeinander stehen und jeweils die Norm eins
> besitzen.
> Damit gilt dann für das Skalarprodukt: [mm]\langle v_i, v_j\rangle[/mm]
> = [mm]\delta_{ij}.[/mm]
>
> Ich habe bei (a) die Vektoren v und w als Linearkombination
> der Basisvektoren geschrieben, also etwa so:
>
> [mm]\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}v_{i}=v\,\,\,\lambda_{i}\in\mathbb{R}[/mm]
> für [mm]i\in\{1,...,n\}[/mm] und entsprechend dann für w (nur
> anstelle von lambdas stehen da müs).
>
> Ich hab dann versucht das in die rechte Seite meiner
> Gleichung einzusetzen und umzuformen, bis am Ende [mm][/mm] da
> steht.
> Das hat aber nicht geklappt.
Setz es doch mal auf beiden Seiten ein.
> Ist das Vorgehen so richtig? Gibt es dabei irgendwelche
> Tricks, auf die ich besonders achten muss?
Du musst [mm] $\langle v_i, v_j \rangle [/mm] = [mm] \delta_{i j}$ [/mm] beachten und dass das Skalarprodukt bilinear ist. Mehr nicht.
> Und zu b habe ich bis jetzt noch keinen Ansatz.
Du musst zeigen dass es eine Basis ist. Wenn es keine ist, ist der Spann nicht der ganze Vektorraum.
Tipp: suche einen Vektor $v$ mit [mm] $\| [/mm] v [mm] \| [/mm] = 0$ und $v [mm] \neq [/mm] 0$.
LG Felix
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> Setz es doch mal auf beiden Seiten ein.
>
Ich kann es doch aber nicht auf beiden Seiten gleichzeitig einsetzen. Dann würde ich doch nie zu einem Beweis der Gleichung kommen.
Oder meintest du, ich sollte es nun auch mal in die rechte Seite einsetzen?
Das habe ich gemacht. Dann steht da [mm] =<\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}v_{i},\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\mu_{i}v_{i}>.
[/mm]
So und dann bin ich schon wieder überfragt. Wie geht es nun mit dem Umformen weiter?
Grüße T_sleeper
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Mo 26.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Setz es doch mal auf beiden Seiten ein.
> >
>
> Ich kann es doch aber nicht auf beiden Seiten gleichzeitig
> einsetzen. Dann würde ich doch nie zu einem Beweis der
> Gleichung kommen.
> Oder meintest du, ich sollte es nun auch mal in die rechte
> Seite einsetzen?
> Das habe ich gemacht. Dann steht da
> [mm]=<\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}v_{i},\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\mu_{i}v_{i}>.[/mm]
> So und dann bin ich schon wieder überfragt. Wie geht es
> nun mit dem Umformen weiter?
Na, das Skalarprodukt ist bilinear. Benutz das doch mal.
LG Felix
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Okay, dann kann ich die summe schonmal rausziehen. Dann folgt:
[mm] =<\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}v_{i},\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\mu_{i}v_{i}>=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}<\lambda_{i}v_{i},\mu_{i}v_{i}>
[/mm]
Ist das so okay? Aber dann müsste ich doch noch irgendetwas rausziehen können, oder?
Oder kann ich dann gleich schon schreiben
[mm] =\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}<\lambda_{i}v_{i},v_{i}> [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:07 Mo 26.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Okay, dann kann ich die summe schonmal rausziehen. Dann
> folgt:
>
> [mm]=<\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}v_{i},\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\mu_{i}v_{i}>=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}<\lambda_{i}v_{i},\mu_{i}v_{i}>[/mm]
Nein, so geht das sicher nicht. Weisst du was bilinear heisst?
Es ist doch nicht $<a+b, c+d> = <a,c> + <b,d>$!
> Ist das so okay? Aber dann müsste ich doch noch irgendetwas
> rausziehen können, oder?
>
> Oder kann ich dann gleich schon schreiben
>
> [mm]=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}<\lambda_{i}v_{i},v_{i}>[/mm]
> ?
Wieso? Das musst du erst begruenden!
LG Felix
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Ok klar.
Dann nochmal:
Sei [mm] v:=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}v_{i} [/mm] und [mm] w:=\overset{n}{\underset{j=1}{\sum}}\mu_{j}v_{j}.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] =<\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}v_{i},\overset{n}{\underset{j=1}{\sum}}\mu_{j}v_{j}>=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}\overset{n}{\underset{j=1}{\sum}}\mu_{j}
[/mm]
So müsste es erst einmal richtig sein, oder?
Dann bin ich ja schon ziemlich nah am Ergebnis dran. Aber wie mache ich weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Mo 26.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Dann nochmal:
> Sei [mm]v:=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}v_{i}[/mm]
> und [mm]w:=\overset{n}{\underset{j=1}{\sum}}\mu_{j}v_{j}.[/mm]
>
> Dann gilt:
>
> [mm]=<\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}v_{i},\overset{n}{\underset{j=1}{\sum}}\mu_{j}v_{j}>=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}\lambda_{i}\overset{n}{\underset{j=1}{\sum}}\mu_{j}[/mm]
>
> So müsste es erst einmal richtig sein, oder?
Ja.
> Dann bin ich ja schon ziemlich nah am Ergebnis dran. Aber
> wie mache ich weiter?
Was weisst du ueber [mm] $$?
[/mm]
LG Felix
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> Was weisst du ueber [mm][/mm]?
>
> LG Felix
>
Ich weiß, dass [mm]=1[/mm] für [mm]i=j[/mm] und sonst 0.
Dann könnte ich doch gleich schreiben [mm] =\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} [/mm] oder? Sollte man noch irgendwelche anderen Zwischenschritte machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:02 Di 27.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ich weiß, dass [mm]=1[/mm] für [mm]i=j[/mm] und sonst 0.
Genau.
> Dann könnte ich doch gleich schreiben
> [mm]=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}[/mm] oder?
Und warum? Kannst du das auch irgendwie begruenden?
> Sollte man noch irgendwelche anderen Zwischenschritte
> machen?
Nun, man muss es zumindest begruenden.
LG Felix
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