Numerische 2. ableitung < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Hexe |
| Aufgabe | | [mm] f''(x)=\bruch{1}{dx^2}(f(x_{n+1})-2f(x_{n})+f(x_{n-1})) [/mm] |
So dass man mit dieser Formel die zweite ableitung nähern kann, leuchtet mir ein. Die Frage ist jetzt, was mache ich wenn x=t ist die Formel also zeitabhänhig ist. Kann ich die zweite Ableitung auch berechnen ohne in die Zukunft sehen zu müssen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Fr 22.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Frage ist für mich unverständlich, jede Funktion f(t), t Zeit, beschreibt doch etwas zeitliches. t=0 als "jetzt" zu interpretieren ist völlig willkürlich. es ist z. Bsp die Zeit, in dem ein Experiment angefangen hat (auch wenn das vor hundert Jahren war.
Also etwa Galilei liess zur Zeit t=0 einen Stein vom Turm in Pisa fallen, wann kam er unten auf? ist ne legale Frage.
Genau wie du den x=0 pkt einer Achse irgendwohin legen kannst, und das NICHT die linke untere Ecke deines Papiers sein muss!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Fr 22.06.2007 | | Autor: | Hexe |
Ok dann hab ich mich undeutlich augedrückt meine Frage ist einfach nur.
Angemommen ich kenne alle Werte einer Funktion f(x) für alle [mm] x\le x_n [/mm] und will nun am Punkt [mm] x_n [/mm] die zweite Ableitung numerisch bestimmen. Meine Frage ist, gibt es eine Formel mit der das möglich ist. Die Funktion soll übrigens beliebig differentierbar sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Fr 22.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ok dann hab ich mich undeutlich augedrückt meine Frage ist
> einfach nur.
> Angemommen ich kenne alle Werte einer Funktion f(x) für
> alle [mm]x\le x_n[/mm] und will nun am Punkt [mm]x_n[/mm] die zweite
> Ableitung numerisch bestimmen. Meine Frage ist, gibt es
> eine Formel mit der das möglich ist. Die Funktion soll
> übrigens beliebig differentierbar sein.
Also irgendeine Formel kann man natuerlich finden: wenn man weiss, dass die Funktion diffbar ist, kann man die Ableitung durch Grenzwertbildung von Links berechnen.
Eine Moeglichkeit waer: nach Taylor ist ja $f(x + h) = f(x) + h f'(x) + [mm] \frac{1}{2} h^2 [/mm] f''(x) + [mm] O(h^3)$. [/mm] Umstellen liefert $f''(x) = 2 [mm] \cdot \frac{f(x + h) - f(x) - f'(x) h}{h^2} [/mm] + O(h)$. Wenn du also eine gute Approximation fuer [mm] $\frac{f'(x) h}{h^2} [/mm] = [mm] \frac{f'(x)}{h}$ [/mm] hast (also irgendetwas in $O(h)$), kannst du da durch Einsetzen eines negativen $h$ eine Formel fuer $f''(x)$ bekommen, welches nur $f(x)$, $f'(x)$ und $f(x + h)$ (mit $x + h < x$) verwendet.
Ob die Formel numerisch allerdings gut geeignet ist, das ist wie schon gesagt ne ganz andere Frage... :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:43 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Hexe |
Vielen Dank, das war genau was ich gesucht habe.
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Hallo Hexe,
So wie ich das verstanden habe sind sogenannte "Backward Differentiation Formulas" das Stichwort nach dem du schauen solltest. (siehe ![[]](/images/popup.gif) BDF-Verfahren)
viele Grüße
mathemaduenn
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