Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Nullzeilen in der Matrix - ev.vorhilfe.de

- Förderverein -

Der Förderverein. Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
	Hallo Gast! [ einloggen \| registrieren ]
	Startseite · Mitglieder · Impressum

Forenbaum

VH e.V.

Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation

Startseite...
Suchen
Impressum

Das Projekt

Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.

Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.

Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.

Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".

Partnerseiten

Weitere Fächer:

Vorhilfe.de

FunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme

Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Nullzeilen in der Matrix

Nullzeilen in der Matrix < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

Ansicht:

[ geschachtelt ]

Forum "Lineare Algebra Sonstiges" |

Alle Foren |

Forenbaum | Materialien

Nullzeilen in der Matrix: Tipp zum Lösen

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	18:33 Sa 25.05.2013
Autor:	otto007

Aufgabe

 1 1 - - 1|1 - - - -|- - - - -|- - - - -|1 - - - -|-|

- 1 1 1 -|- - 1 - -|- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|-|

- - 1 - 1|1 1 - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 - - -|-|

- - - 1 -|1 1 - 1 -|- - - - -|- - - - -|1 1 - 1 -|-|

- - - - 1|- 1 1 - 1|- - - - -|- - - - -|- 1 1 - 1|1|

- - - - -|1 - 1 1 1|- 1 - - -|- - - - -|- 1 - 1 1|1|

- - - - -|- 1 1 1 1|1 - - - -|- - - - -|1 - 1 1 -|-|

- - - - -|- - 1 - 1|1 1 - 1 -|- - - - -|- - 1 1 1|1|

- - - - -|- - - 1 1|1 1 1 - -|- - - - -|- 1 - - -|-|

- - - - -|- - - - 1|1 - 1 1 1|1 - - - -|- - 1 - -|-|

- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|1 1 1 1 1|1|

- - - - -|- - - - -|- 1 1 - -|1 - - 1 -|- 1 1 - -|-|

- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|1 - - - 1|- - 1 - -|-|

- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 1 - - -|- - - 1 -|-|

- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|- - - - 1|1|

- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|-|

- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|1|

- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

Finde den Lösungsvektor aus der erweiterten Koeffizientenmatrix!

1 1 - - 1|1 - - - -|- - - - -|- - - - -|1 - - - -|-|
- 1 1 1 -|- - 1 - -|- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|-|
- - 1 - 1|1 1 - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 - - -|-|
- - - 1 -|1 1 - 1 -|- - - - -|- - - - -|1 1 - 1 -|-|
- - - - 1|- 1 1 - 1|- - - - -|- - - - -|- 1 1 - 1|1|
- - - - -|1 - 1 1 1|- 1 - - -|- - - - -|- 1 - 1 1|1|
- - - - -|- 1 1 1 1|1 - - - -|- - - - -|1 - 1 1 -|-|
- - - - -|- - 1 - 1|1 1 - 1 -|- - - - -|- - 1 1 1|1|
- - - - -|- - - 1 1|1 1 1 - -|- - - - -|- 1 - - -|-|
- - - - -|- - - - 1|1 - 1 1 1|1 - - - -|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- 1 1 - -|1 - - 1 -|- 1 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|1 - - - 1|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 1 - - -|- - - 1 -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|- - - - 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

Das ist eine erweiterte Koeffizientenmatrix...die vertikalen Striche nach allen 5 Einträgen haben nichts zu bedeuten. Horizontale Striche sind Nullen. Das GS ist über dem Körper Z2, d.h. der Restklassenkörper mod 2...

Meine Frage wär jetzt, wie ich den Lösungsvektor herausfinde. Ich bin mir sicher, dass es genau eine Lösung gibt und sie lautet:
|-|
|-|
|-|
|-|
|-|
|-|
|-|
|-|
|-|
|-|
|-|
|-|
|-|
|-|
|-|
|-|
|-|
|-|
|-|
|-|
|-|
|-|
|-|
|-|
|1|
Wieso ich die Lösung weiß, liegt an der Aufgabenstellung, die hier zu lang wäre, um sie zu erläutern...
Aber ich hoffe trotzdem, dass mir einer helfen kann, genau denselben Vektor auch aus der Matrix zu schließen.
Mein Problem sind die Nullzeilen und die einzelnen Variablen beliebig zu wählen funktioniert nicht!
Danke im Vorraus,
Otto
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Bezug

Nullzeilen in der Matrix: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	21:12 Sa 25.05.2013
Autor:	angela.h.b.

> Ich bin mir sicher, dass es genau eine Lösung
> gibt

Hallo,

[willkommenmr]

.

Was gibt Dir diese Sicherheit?
Ich sehe hier eine [mm] 25\times [/mm] 25-Koeffizientenmatrix, deren Rang 17 ist.
Weiter sehe ich, daß der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ebenfalls 17 ist.
Das LGS ist also lösbar, und der Lösungsraum hat die Dimension 8.
Der von Dir angegebene Vektor ist eine Lösung des LGS.

LG Angela

Bezug

Nullzeilen in der Matrix: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	23:40 Sa 25.05.2013
Autor:	otto007

Danke erstmal für die Antwort...
Was mich so sicher macht ist die Tatsache, dass das LGS nur die Beschreibung eines Problems ist, bei dem dieser Vektor b ein trivialer Fall ist. Ich bin mir sehr sicher, dass meine Lösung die einzige ist. Könntest du oder jemand anderes mir noch beschreiben, wie der Lösungsweg aussieht, d.h. wie man konkret auch auf den genannten Lösungsvektor gelangen kann?
Danke im vorraus

Bezug

Nullzeilen in der Matrix: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	23:43 Sa 25.05.2013
Autor:	otto007

Ich bin neu hier...deshalb hab ich jetzt den gleichen Text nochmal gepostet...und zwar als Frage:

Danke erstmal für die Antwort...
Was mich so sicher macht ist die Tatsache, dass das LGS nur die Beschreibung eines Problems ist, bei dem dieser Vektor b ein trivialer Fall ist. Ich bin mir sehr sicher, dass meine Lösung die einzige ist. Könntest du oder jemand anderes mir noch beschreiben, wie der Lösungsweg aussieht, d.h. wie man konkret auch auf den genannten Lösungsvektor gelangen kann?
Danke im vorraus

Bezug

Nullzeilen in der Matrix: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	08:33 So 26.05.2013
Autor:	angela.h.b.

> Was mich so sicher macht ist die Tatsache, dass das LGS
> nur die Beschreibung eines Problems ist, bei dem dieser
> Vektor b ein trivialer Fall ist. Ich bin mir sehr sicher,
> dass meine Lösung die einzige ist.

Hallo,

wie bereits gesagt: diese Lösung ist nicht die einzige.
Es gibt mehr, was man am Rang der Matrix ablesen kann.

Generell bekommt man die Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems so:
"eine spezielle Lösung plus Lösungsmenge des homogenen Systems"

> Könntest du oder
> jemand anderes mir noch beschreiben, wie der Lösungsweg
> aussieht, d.h. wie man konkret auch auf den genannten
> Lösungsvektor gelangen kann?

Bestimmt. Mir ist diese [mm] 25\times [/mm] 25- matrix von der Tipperei her aber zu umständlich.

Ich mache in kleines Beispiel, auch in [mm] \IZ_2: [/mm]

wir haben eine erweiterte Koefizientenmatrix in Zeilenstufenorm:
[mm] \pmat{1&1&0&|&0\\0&1&1&|&1\\0&0&0&|&0} [/mm]

Die Koeffizientenmatrix hat den Rang 2,
die erweiterte Koeffizientenmatrix hat ebenfalls den Rang 2.
Also ist das System lösbar.

Der Lösungsraum hat die Dimension "Anzahl der variablen-Rang", also 3-2=1.

Zur weiteren Vorgehensweise gibt es verschiedene Möglichkeiten.
Ich wähle den Weg über die reduzierte Zeilenstufenorm,
addiere also Zeilen so, daß über dem ersten Element der Nichtnullzeilen immer nur Nullen stehen:

--> [mm] \pmat{1&0&1&|&1\\0&1&1&|&1\\0&0&0&|&0}. [/mm]

Ein letzter Check: die Matrix ist quadratisch, die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen auf der Diagonalen. (Wäre das nicht der Fall, würde ich Nullzeilen einschieben.)

Rechts steht nun eine spezielle Lösung des Systems,
[mm] v_s=\vektor{1\\1\\0}. [/mm]

Nun subtrahiere ist von der Koeffizientenmatrix Einheitsmatrix

--> [mm] \pmat{0&0&1\\0&0&1\\0&0&-1}= \pmat{0&0&1\\0&0&1\\0&0&1} [/mm] (wir sind in [mm] \IZ_2), [/mm]

und lese an den Spalten, deren Diagonalelement nicht 0 ist, eine Basis des Lösungsraumes des homogenen Systems ab:
[mm] \vektor{1\\1\\1}. [/mm]

Ich weiß nun:

alle Lösungen sind von der Gestalt [mm] v=\vektor{1\\1\\0}+t*\vektor{1\\1\\1}, \qquad t\in \IZ_2. [/mm]

Also habe ich zwei Lösungen, nämlich für t=0 und t=1.

In Deiner Aufgabe ist der Lösungsraum des homogenen Systems viel größer, entsprechend bekommst Du mehr Lösungen, aber Deine wird auch dabei sein.

LG Angela

Bezug

Nullzeilen in der Matrix: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	11:43 So 26.05.2013
Autor:	otto007

Vielen vielen Dank!
Ich habs jetzt verstanden...ich darf mich einfach nicht von der Größe und vom Körper verwirren lassen...so wie du es beschrieben hast klappt das natürlich auch bei 25*25 (bzw. später (400*400) ;)
LG
otto

Bezug

Nullzeilen in der Matrix: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	10:54 So 26.05.2013
Autor:	HJKweseleit

Du hast eine 25 x 25 - Matrix mit Nullzeilen. Das bedeutet: 25 Gleichungen mit 25 Unbekannten, was "normalerweise" zu einer eindeutigen Lösung führt. Nullzeilen bedeuten aber "keine Information", sozusagen fehlende Gleichungen. Das wiederum bedeutet, dass es keine eindeutige Lösung gibt, sondern für jede fehlende Gleichung bekommst du eine ganze Dimension dazu.

Die Matrix befindet sich bereits in Dreiecksform (links unterhalb der Hauptdiagonalen alles Nullen). Gäbe es jetzt eine "unvollständige Nullzeile" (eine Zeile mit lauter Nullen, nicht aber Null beim Koeffizienten in der Zeile), so wäre das System gar nicht lösbar. Taucht bei der Dreiecksform keine unvollständige Nullzeile auf, so ist das System auf jeden Fall lösbar. (Wenn es noch keine 'Dreiecksgestalt' hat, kann man das i.a. nicht erkennen.)

Das Gleichungssystem lässt sich nun recht einfach in ein System verwandeln, das nur noch Nullen und 1-en in der Hauptdiagonale enthält. Daraus kannst du dann die Lösungen sofort ablesen.

Anleitung: Addiere die 2. Zeile zur ersten, weil die erste Zeile an der zweiten Stelle eine 1 enthält. Du erhältst

1 = 1 1 1|1 - 1 - -|- - - - -|- - - - -|1 - 1 - -|-|
- 1 1 1 -|- - 1 - -|- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|-|
- - 1 - 1|1 1 - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 - - -|-|
- - - 1 -|1 1 - 1 -|- - - - -|- - - - -|1 1 - 1 -|-|
- - - - 1|- 1 1 - 1|- - - - -|- - - - -|- 1 1 - 1|1|
- - - - -|1 - 1 1 1|- 1 - - -|- - - - -|- 1 - 1 1|1|
- - - - -|- 1 1 1 1|1 - - - -|- - - - -|1 - 1 1 -|-|
- - - - -|- - 1 - 1|1 1 - 1 -|- - - - -|- - 1 1 1|1|
- - - - -|- - - 1 1|1 1 1 - -|- - - - -|- 1 - - -|-|
- - - - -|- - - - 1|1 - 1 1 1|1 - - - -|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- 1 1 - -|1 - - 1 -|- 1 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|1 - - - 1|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 1 - - -|- - - 1 -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|- - - - 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

wobei ich ein = statt - gesetzt habe, denn es kommt darauf an,hier eine 0 zu erhalten.

Nun addierst du die 3. Zeile in die 1. und 2. und beseitigst dadurch die 1-en an den nun mit = markierten Stellen:

1 - = 1 -|- 1 1 - -|- - - - -|- - - - -|- 1 1 - -|-|
- 1 = 1 1|1 1 1 - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 - -|-|
- - 1 - 1|1 1 - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 - - -|-|
- - - 1 -|1 1 - 1 -|- - - - -|- - - - -|1 1 - 1 -|-|
- - - - 1|- 1 1 - 1|- - - - -|- - - - -|- 1 1 - 1|1|
- - - - -|1 - 1 1 1|- 1 - - -|- - - - -|- 1 - 1 1|1|
- - - - -|- 1 1 1 1|1 - - - -|- - - - -|1 - 1 1 -|-|
- - - - -|- - 1 - 1|1 1 - 1 -|- - - - -|- - 1 1 1|1|
- - - - -|- - - 1 1|1 1 1 - -|- - - - -|- 1 - - -|-|
- - - - -|- - - - 1|1 - 1 1 1|1 - - - -|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- 1 1 - -|1 - - 1 -|- 1 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|1 - - - 1|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 1 - - -|- - - 1 -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|- - - - 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

Die 4. Zeile addierst du jetz in die 1. und 2., aber nicht in die 3. Zeile, weil über der linken 1 der 4. Zeile in der 1. und 2. Zeile 1-en, in der 3. Zeile aber schon eine 0 steht:

1 - - = -|1 - 1 1 -|- - - - -|- - - - -|1 - 1 1 -|-|
- 1 - = 1|- - 1 1 -|- - - - -|- - - - -|- - 1 1 -|-|
- - 1 - 1|1 1 - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 - - -|-|
- - - 1 -|1 1 - 1 -|- - - - -|- - - - -|1 1 - 1 -|-|
- - - - 1|- 1 1 - 1|- - - - -|- - - - -|- 1 1 - 1|1|
- - - - -|1 - 1 1 1|- 1 - - -|- - - - -|- 1 - 1 1|1|
- - - - -|- 1 1 1 1|1 - - - -|- - - - -|1 - 1 1 -|-|
- - - - -|- - 1 - 1|1 1 - 1 -|- - - - -|- - 1 1 1|1|
- - - - -|- - - 1 1|1 1 1 - -|- - - - -|- 1 - - -|-|
- - - - -|- - - - 1|1 - 1 1 1|1 - - - -|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- 1 1 - -|1 - - 1 -|- 1 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|1 - - - 1|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 1 - - -|- - - 1 -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|- - - - 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

Die 5. Zeile addierst du nur in Zeile 2 und 3 usw.

Bezug

Nullzeilen in der Matrix: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	11:46 So 26.05.2013
Autor:	otto007

Das hilft mir wirklich weiter! Dankeschön!
Eine kleine Frage hab ich noch: stimmt es, dass ich die Spalten oberhalb der Nullen in der Diagonale stehenlassen darf und nur dort addiere, wo ich auch ein Pivot hab?
LG
Otto

Bezug

Nullzeilen in der Matrix: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	11:50 So 26.05.2013
Autor:	angela.h.b.

> Das hilft mir wirklich weiter! Dankeschön!
> Eine kleine Frage hab ich noch: stimmt es, dass ich die
> Spalten oberhalb der Nullen in der Diagonale stehenlassen
> darf und nur dort addiere, wo ich auch ein Pivot hab?

Hallo,

ja, so funktioniert das.

LG Angela

Bezug

Nullzeilen in der Matrix: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	11:58 So 26.05.2013
Autor:	otto007

Danke!

Bezug

Nullzeilen in der Matrix: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	12:25 So 26.05.2013
Autor:	HJKweseleit

Habe mal ein Pascal-Programm geschrieben, das die einzelnen Schritte bis zum Schluss aufzeigt. Die letzte Matrix ist sozusagen die Lösung:

1 1 - - 1|1 - - - -|- - - - -|- - - - -|1 - - - -|-|
- 1 1 1 -|- - 1 - -|- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|-|
- - 1 - 1|1 1 - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 - - -|-|
- - - 1 -|1 1 - 1 -|- - - - -|- - - - -|1 1 - 1 -|-|
- - - - 1|- 1 1 - 1|- - - - -|- - - - -|- 1 1 - 1|1|
- - - - -|1 - 1 1 1|- 1 - - -|- - - - -|- 1 - 1 1|1|
- - - - -|- 1 1 1 1|1 - - - -|- - - - -|1 - 1 1 -|-|
- - - - -|- - 1 - 1|1 1 - 1 -|- - - - -|- - 1 1 1|1|
- - - - -|- - - 1 1|1 1 1 - -|- - - - -|- 1 - - -|-|
- - - - -|- - - - 1|1 - 1 1 1|1 - - - -|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- 1 1 - -|1 - - 1 -|- 1 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|1 - - - 1|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 1 - - -|- - - 1 -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|- - - - 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

1 - 1 1 1|1 - 1 - -|- - - - -|- - - - -|1 - 1 - -|-|
- 1 1 1 -|- - 1 - -|- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|-|
- - 1 - 1|1 1 - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 - - -|-|
- - - 1 -|1 1 - 1 -|- - - - -|- - - - -|1 1 - 1 -|-|
- - - - 1|- 1 1 - 1|- - - - -|- - - - -|- 1 1 - 1|1|
- - - - -|1 - 1 1 1|- 1 - - -|- - - - -|- 1 - 1 1|1|
- - - - -|- 1 1 1 1|1 - - - -|- - - - -|1 - 1 1 -|-|
- - - - -|- - 1 - 1|1 1 - 1 -|- - - - -|- - 1 1 1|1|
- - - - -|- - - 1 1|1 1 1 - -|- - - - -|- 1 - - -|-|
- - - - -|- - - - 1|1 - 1 1 1|1 - - - -|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- 1 1 - -|1 - - 1 -|- 1 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|1 - - - 1|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 1 - - -|- - - 1 -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|- - - - 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

1 - - 1 -|- 1 1 - -|- - - - -|- - - - -|- 1 1 - -|-|
- 1 - 1 1|1 1 1 - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 - -|-|
- - 1 - 1|1 1 - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 - - -|-|
- - - 1 -|1 1 - 1 -|- - - - -|- - - - -|1 1 - 1 -|-|
- - - - 1|- 1 1 - 1|- - - - -|- - - - -|- 1 1 - 1|1|
- - - - -|1 - 1 1 1|- 1 - - -|- - - - -|- 1 - 1 1|1|
- - - - -|- 1 1 1 1|1 - - - -|- - - - -|1 - 1 1 -|-|
- - - - -|- - 1 - 1|1 1 - 1 -|- - - - -|- - 1 1 1|1|
- - - - -|- - - 1 1|1 1 1 - -|- - - - -|- 1 - - -|-|
- - - - -|- - - - 1|1 - 1 1 1|1 - - - -|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- 1 1 - -|1 - - 1 -|- 1 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|1 - - - 1|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 1 - - -|- - - 1 -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|- - - - 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

1 - - - -|1 - 1 1 -|- - - - -|- - - - -|1 - 1 1 -|-|
- 1 - - 1|- - 1 1 -|- - - - -|- - - - -|- - 1 1 -|-|
- - 1 - 1|1 1 - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 - - -|-|
- - - 1 -|1 1 - 1 -|- - - - -|- - - - -|1 1 - 1 -|-|
- - - - 1|- 1 1 - 1|- - - - -|- - - - -|- 1 1 - 1|1|
- - - - -|1 - 1 1 1|- 1 - - -|- - - - -|- 1 - 1 1|1|
- - - - -|- 1 1 1 1|1 - - - -|- - - - -|1 - 1 1 -|-|
- - - - -|- - 1 - 1|1 1 - 1 -|- - - - -|- - 1 1 1|1|
- - - - -|- - - 1 1|1 1 1 - -|- - - - -|- 1 - - -|-|
- - - - -|- - - - 1|1 - 1 1 1|1 - - - -|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- 1 1 - -|1 - - 1 -|- 1 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|1 - - - 1|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 1 - - -|- - - 1 -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|- - - - 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

1 - - - -|1 - 1 1 -|- - - - -|- - - - -|1 - 1 1 -|-|
- 1 - - -|- 1 - 1 1|- - - - -|- - - - -|- 1 - 1 1|1|
- - 1 - -|1 - 1 - 1|- - - - -|- - - - -|1 - 1 - 1|1|
- - - 1 -|1 1 - 1 -|- - - - -|- - - - -|1 1 - 1 -|-|
- - - - 1|- 1 1 - 1|- - - - -|- - - - -|- 1 1 - 1|1|
- - - - -|1 - 1 1 1|- 1 - - -|- - - - -|- 1 - 1 1|1|
- - - - -|- 1 1 1 1|1 - - - -|- - - - -|1 - 1 1 -|-|
- - - - -|- - 1 - 1|1 1 - 1 -|- - - - -|- - 1 1 1|1|
- - - - -|- - - 1 1|1 1 1 - -|- - - - -|- 1 - - -|-|
- - - - -|- - - - 1|1 - 1 1 1|1 - - - -|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- 1 1 - -|1 - - 1 -|- 1 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|1 - - - 1|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 1 - - -|- - - 1 -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|- - - - 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

1 - - - -|- - - - 1|- 1 - - -|- - - - -|1 1 1 - 1|1|
- 1 - - -|- 1 - 1 1|- - - - -|- - - - -|- 1 - 1 1|1|
- - 1 - -|- - - 1 -|- 1 - - -|- - - - -|1 1 1 1 -|-|
- - - 1 -|- 1 1 - 1|- 1 - - -|- - - - -|1 - - - 1|1|
- - - - 1|- 1 1 - 1|- - - - -|- - - - -|- 1 1 - 1|1|
- - - - -|1 - 1 1 1|- 1 - - -|- - - - -|- 1 - 1 1|1|
- - - - -|- 1 1 1 1|1 - - - -|- - - - -|1 - 1 1 -|-|
- - - - -|- - 1 - 1|1 1 - 1 -|- - - - -|- - 1 1 1|1|
- - - - -|- - - 1 1|1 1 1 - -|- - - - -|- 1 - - -|-|
- - - - -|- - - - 1|1 - 1 1 1|1 - - - -|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- 1 1 - -|1 - - 1 -|- 1 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|1 - - - 1|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 1 - - -|- - - 1 -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|- - - - 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

1 - - - -|- - - - 1|- 1 - - -|- - - - -|1 1 1 - 1|1|
- 1 - - -|- - 1 - -|1 - - - -|- - - - -|1 1 1 - 1|1|
- - 1 - -|- - - 1 -|- 1 - - -|- - - - -|1 1 1 1 -|-|
- - - 1 -|- - - 1 -|1 1 - - -|- - - - -|- - 1 1 1|1|
- - - - 1|- - - 1 -|1 - - - -|- - - - -|1 1 - 1 1|1|
- - - - -|1 - 1 1 1|- 1 - - -|- - - - -|- 1 - 1 1|1|
- - - - -|- 1 1 1 1|1 - - - -|- - - - -|1 - 1 1 -|-|
- - - - -|- - 1 - 1|1 1 - 1 -|- - - - -|- - 1 1 1|1|
- - - - -|- - - 1 1|1 1 1 - -|- - - - -|- 1 - - -|-|
- - - - -|- - - - 1|1 - 1 1 1|1 - - - -|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- 1 1 - -|1 - - 1 -|- 1 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|1 - - - 1|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 1 - - -|- - - 1 -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|- - - - 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

1 - - - -|- - - - 1|- 1 - - -|- - - - -|1 1 1 - 1|1|
- 1 - - -|- - - - 1|- 1 - 1 -|- - - - -|1 1 - 1 -|-|
- - 1 - -|- - - 1 -|- 1 - - -|- - - - -|1 1 1 1 -|-|
- - - 1 -|- - - 1 -|1 1 - - -|- - - - -|- - 1 1 1|1|
- - - - 1|- - - 1 -|1 - - - -|- - - - -|1 1 - 1 1|1|
- - - - -|1 - - 1 -|1 - - 1 -|- - - - -|- 1 1 - -|-|
- - - - -|- 1 - 1 -|- 1 - 1 -|- - - - -|1 - - - 1|1|
- - - - -|- - 1 - 1|1 1 - 1 -|- - - - -|- - 1 1 1|1|
- - - - -|- - - 1 1|1 1 1 - -|- - - - -|- 1 - - -|-|
- - - - -|- - - - 1|1 - 1 1 1|1 - - - -|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- 1 1 - -|1 - - 1 -|- 1 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|1 - - - 1|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 1 - - -|- - - 1 -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|- - - - 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

1 - - - -|- - - - 1|- 1 - - -|- - - - -|1 1 1 - 1|1|
- 1 - - -|- - - - 1|- 1 - 1 -|- - - - -|1 1 - 1 -|-|
- - 1 - -|- - - - 1|1 - 1 - -|- - - - -|1 - 1 1 -|-|
- - - 1 -|- - - - 1|- - 1 - -|- - - - -|- 1 1 1 1|1|
- - - - 1|- - - - 1|- 1 1 - -|- - - - -|1 - - 1 1|1|
- - - - -|1 - - - 1|- 1 1 1 -|- - - - -|- - 1 - -|-|
- - - - -|- 1 - - 1|1 - 1 1 -|- - - - -|1 1 - - 1|1|
- - - - -|- - 1 - 1|1 1 - 1 -|- - - - -|- - 1 1 1|1|
- - - - -|- - - 1 1|1 1 1 - -|- - - - -|- 1 - - -|-|
- - - - -|- - - - 1|1 - 1 1 1|1 - - - -|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- 1 1 - -|1 - - 1 -|- 1 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|1 - - - 1|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 1 - - -|- - - 1 -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|- - - - 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

1 - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|1 - - - -|1 1 - - 1|1|
- 1 - - -|- - - - -|1 1 1 - 1|1 - - - -|1 1 1 1 -|-|
- - 1 - -|- - - - -|- - - 1 1|1 - - - -|1 - - 1 -|-|
- - - 1 -|- - - - -|1 - - 1 1|1 - - - -|- 1 - 1 1|1|
- - - - 1|- - - - -|1 1 - 1 1|1 - - - -|1 - 1 1 1|1|
- - - - -|1 - - - -|1 1 - - 1|1 - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- 1 - - -|- - - - 1|1 - - - -|1 1 1 - 1|1|
- - - - -|- - 1 - -|- 1 1 - 1|1 - - - -|- - - 1 1|1|
- - - - -|- - - 1 -|- 1 - 1 1|1 - - - -|- 1 1 - -|-|
- - - - -|- - - - 1|1 - 1 1 1|1 - - - -|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- 1 1 - -|1 - - 1 -|- 1 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|1 - - - 1|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 1 - - -|- - - 1 -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|- - - - 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

1 - - - -|- - - - -|- - - - -|1 - - - -|- - 1 1 -|-|
- 1 - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 - - - -|- - - - 1|1|
- - 1 - -|- - - - -|- - - 1 1|1 - - - -|1 - - 1 -|-|
- - - 1 -|- - - - -|- 1 1 - -|1 - - - -|1 - 1 - -|-|
- - - - 1|- - - - -|- - 1 - -|1 - - - -|- 1 - - -|-|
- - - - -|1 - - - -|- - 1 1 -|1 - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- 1 - - -|- - - - 1|1 - - - -|1 1 1 - 1|1|
- - - - -|- - 1 - -|- 1 1 - 1|1 - - - -|- - - 1 1|1|
- - - - -|- - - 1 -|- 1 - 1 1|1 - - - -|- 1 1 - -|-|
- - - - -|- - - - 1|- 1 - - -|1 - - - -|1 1 - 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- 1 1 - -|1 - - 1 -|- 1 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|1 - - - 1|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 1 - - -|- - - 1 -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|- - - - 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

1 - - - -|- - - - -|- - - - -|1 - - - -|- - 1 1 -|-|
- 1 - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 - - - -|- - - - 1|1|
- - 1 - -|- - - - -|- - - 1 1|1 - - - -|1 - - 1 -|-|
- - - 1 -|- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 1 - - -|-|
- - - - 1|- - - - -|- - 1 - -|1 - - - -|- 1 - - -|-|
- - - - -|1 - - - -|- - 1 1 -|1 - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- 1 - - -|- - - - 1|1 - - - -|1 1 1 - 1|1|
- - - - -|- - 1 - -|- - - - 1|- - - 1 -|- 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - 1 -|- - 1 1 1|- - - 1 -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - 1|- - 1 - -|- - - 1 -|1 - 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|1 - - 1 1|1 - - 1 -|1 - - 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- 1 1 - -|1 - - 1 -|- 1 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|1 - - - 1|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 1 - - -|- - - 1 -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|- - - - 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

1 - - - -|- - - - -|- - - - -|1 - - - -|- - 1 1 -|-|
- 1 - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 - - - -|- - - - 1|1|
- - 1 - -|- - - - -|- - - 1 1|1 - - - -|1 - - 1 -|-|
- - - 1 -|- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 1 - - -|-|
- - - - 1|- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|-|
- - - - -|1 - - - -|- - - 1 -|- - - - 1|1 1 - 1 1|1|
- - - - -|- 1 - - -|- - - - 1|1 - - - -|1 1 1 - 1|1|
- - - - -|- - 1 - -|- - - - 1|- - - 1 -|- 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - 1 -|- - - 1 1|1 - - 1 1|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - 1|- - - - -|1 - - 1 1|1 - - 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|1 - - 1 1|1 - - 1 -|1 - - 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- 1 - - -|- - - 1 1|- 1 - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|1 - - - 1|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 1 - - -|- - - 1 -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|- - - - 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

1 - - - -|- - - - -|- - - - -|1 - - - -|- - 1 1 -|-|
- 1 - - -|- - - - -|- - - - -|- 1 - - -|- - - 1 1|1|
- - 1 - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 - - -|1 - - - -|-|
- - - 1 -|- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 1 - - -|-|
- - - - 1|- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|-|
- - - - -|1 - - - -|- - - - -|1 1 - - 1|1 1 - - 1|1|
- - - - -|- 1 - - -|- - - - 1|1 - - - -|1 1 1 - 1|1|
- - - - -|- - 1 - -|- - - - 1|- - - 1 -|- 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - 1 -|- - - - 1|- 1 - 1 1|- - 1 1 -|-|
- - - - -|- - - - 1|- - - - -|1 - - 1 1|1 - - 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|1 - - - 1|- 1 - 1 -|1 - - - 1|1|
- - - - -|- - - - -|- 1 - - -|- - - 1 1|- 1 - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|1 - - - 1|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 1 - - -|- - - 1 -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|- - - - 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

1 - - - -|- - - - -|- - - - -|1 - - - -|- - 1 1 -|-|
- 1 - - -|- - - - -|- - - - -|- 1 - - -|- - - 1 1|1|
- - 1 - -|- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|1 - - - 1|1|
- - - 1 -|- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 1 - - -|-|
- - - - 1|- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|-|
- - - - -|1 - - - -|- - - - -|1 1 - - 1|1 1 - - 1|1|
- - - - -|- 1 - - -|- - - - -|1 1 1 - -|1 1 1 - -|-|
- - - - -|- - 1 - -|- - - - -|- 1 1 1 -|- 1 1 1 -|-|
- - - - -|- - - 1 -|- - - - -|- - 1 1 1|- - 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - 1|- - - - -|1 - - 1 1|1 - - 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|1 - - - -|- - 1 1 -|1 - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- 1 - - -|- - - 1 1|- 1 - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|1 - - - 1|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 1 - - -|- - - 1 -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|- - - - 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

1 - - - -|- - - - -|- - - - -|- 1 1 1 1|- - 1 1 -|-|
- 1 - - -|- - - - -|- - - - -|- 1 - - -|- - - 1 1|1|
- - 1 - -|- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|1 - - - 1|1|
- - - 1 -|- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|1 1 - - -|-|
- - - - 1|- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|-|
- - - - -|1 - - - -|- - - - -|- - 1 1 -|1 1 - - 1|1|
- - - - -|- 1 - - -|- - - - -|- - - 1 1|1 1 1 - -|-|
- - - - -|- - 1 - -|- - - - -|- 1 1 1 -|- 1 1 1 -|-|
- - - - -|- - - 1 -|- - - - -|- - 1 1 1|- - 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - 1|- - - - -|- 1 1 - -|1 - - 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|1 - - - -|- - 1 1 -|1 - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- 1 - - -|- - - 1 1|- 1 - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|- 1 1 1 -|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|- - 1 1 1|- - - 1 -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|- - - - 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

a b c d e f g h i j k l m n p q r s t u v w x y z
1 - - - -|- - - - -|- - - - -|- 1 1 1 1|- - 1 1 -|-|
- 1 - - -|- - - - -|- - - - -|- 1 - - -|- - - 1 1|1|
- - 1 - -|- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|- 1 1 1 -|-|
- - - 1 -|- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|- - 1 1 1|1|
- - - - 1|- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|-|
- - - - -|1 - - - -|- - - - -|- - 1 1 -|- - 1 1 -|-|
- - - - -|- 1 - - -|- - - - -|- - - 1 1|- - - 1 1|1|
- - - - -|- - 1 - -|- - - - -|- 1 1 1 -|- 1 1 1 -|-|
- - - - -|- - - 1 -|- - - - -|- - 1 1 1|- - 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - 1|- - - - -|- 1 1 - -|- 1 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|1 - - - -|- - 1 1 -|- 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- 1 - - -|- - - 1 1|- 1 - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - 1 - -|- 1 1 1 -|- - 1 - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - 1 -|- - 1 1 1|- - - 1 -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - 1|- 1 1 - -|- - - - 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|1 1 1 1 1|1|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|
- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|- - - - -|-|

Wenn du die Komponenten des Lösungsvektors von a bis z (ohne o, das sieht wie Null aus) durchnummerierst, liest du nun die Lösungen ab:
a+r+s+t+u+x+y=0, also a=-r-s-t-u-x-y=(wg. mod 2)r+s+t+u+x+y
analog
b=1+r+y+z
c=s+w+x+y

usw.
Die Komponenten r,s,t und u sowie w,x,y und z sind somit beliebig wählbar (8 freie Variablen wg. der 8 Nullzeilen)

Bezug

Ansicht:

[ geschachtelt ]

Forum "Lineare Algebra Sonstiges" |

Alle Foren |

Forenbaum | Materialien

ev.vorhilfe.de[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]