Nullstellenbestimmung Polynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Mo 04.02.2013 | | Autor: | Fagl |
| Aufgabe | Sei
A :=
[mm] \pmat{ 2 & 1+i & 0 \\ 1-i & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 }
[/mm]
Berechnen Sie die Eigenwerte und die Dimension der Eigenraume von A. |
Ich habe erst nach der 3. Zeile entwickelt, dann muss man ja nur noch (4-t) mit der Determinante der verbleibenden 2x2 Matrix multiplizieren um das charakteristische Polynom zu bekommen. (Oder direkt die Formel von Sarrus benutzen und (4-t) ausklammern). In jeden Fall komme ich auf (4-t)*((2-t)(3-t)-2)) bzw. wie auch in der Lösung angegeben: (4-t)*(t²-5t+4)
Allerdings verstehe ich den letzen Schritt nicht, nämlich die Umformung zu:
-(t-4)²(t-1), welche ja nötig ist um die Nullstellen zu erkennen.
Was geschieht hier?
Der Rest der Aufgabe sollte dann kein Problem mehr darstellen.
Dann habe ich noch eine weitere Frage zu einem anderen Thema (Jaja die Klausur naht). Wenn ich ein unterbestimmtes Gleichungssystem habe, z.B. mit 4 Gleichungen aber nur 2 Variablen, wie kann ich dann entscheiden welche 2 der 4 Variablen ich als Freiheitsgrad nehme und dementsprechend frei wähle. Das scheint wohl irgendwie mit den Spalten zu tun zu haben die in Zeilenstufenform ein Pivotelement beinhalten aber ich versteh das nicht wirklich.
Dankö
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Fagl,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei
> A :=
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1+i & 0 \\ 1-i & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 }[/mm]
>
> Berechnen Sie die Eigenwerte und die Dimension der
> Eigenraume von A.
> Ich habe erst nach der 3. Zeile entwickelt, dann muss man
> ja nur noch (4-t) mit der Determinante der verbleibenden
> 2x2 Matrix multiplizieren um das charakteristische Polynom
> zu bekommen. (Oder direkt die Formel von Sarrus benutzen
> und (4-t) ausklammern). In jeden Fall komme ich auf
> (4-t)*((2-t)(3-t)-2)) bzw. wie auch in der Lösung
> angegeben: (4-t)*(t²-5t+4)
> Allerdings verstehe ich den letzen Schritt nicht, nämlich
> die Umformung zu:
>
> -(t-4)²(t-1), welche ja nötig ist um die Nullstellen zu
> erkennen.
> Was geschieht hier?
>
Das Polynom [mm]t^{2}-5t+4[/mm] wird als
Produkt von Linearfaktoren geschrieben.
Dazu werden zunächst die Nullstellen [mm]t_{1}, \ t_{2}[/mm] berechnet.
Dann läßt sich das Polynom so schreiben:
[mm]t^{2}-5t+4=\left(t-t_{1}\right)\left(t-t_{2}\right)[/mm]
> Der Rest der Aufgabe sollte dann kein Problem mehr
> darstellen.
>
> Dann habe ich noch eine weitere Frage zu einem anderen
> Thema (Jaja die Klausur naht). Wenn ich ein unterbestimmtes
> Gleichungssystem habe, z.B. mit 4 Gleichungen aber nur 2
> Variablen, wie kann ich dann entscheiden welche 2 der 4
> Variablen ich als Freiheitsgrad nehme und dementsprechend
> frei wähle. Das scheint wohl irgendwie mit den Spalten zu
> tun zu haben die in Zeilenstufenform ein Pivotelement
> beinhalten aber ich versteh das nicht wirklich.
>
Bei einem unterbestimmten Gleichungssystem sind
mehr Variablen als Gleichungen vorhanden.
Bei einem überbestimmten Gleichungssystem sind
mehr Gleichungen als Variablen vorhanden.
> Dankö
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Mo 04.02.2013 | | Autor: | Fagl |
Die Umformung habe ich verstanden. Danke!
Zum dem Anderen: Habe ich verwechselt, meinte dann natürlich überbestimmt. Aber hat meine Frage noch nicht beantwortet :S
|
|
|
| |
|
Hallo Fagl,
> Die Umformung habe ich verstanden. Danke!
>
> Zum dem Anderen: Habe ich verwechselt, meinte dann
> natürlich überbestimmt. Aber hat meine Frage noch nicht
> beantwortet :S
Bei einem überbestimmten Gleichungssystem
hast Du doch keine Freiheistgrade.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Mo 04.02.2013 | | Autor: | Fagl |
Jetzt bin ich ein wenig verwirrt. Bezeichnet man mit einem Freiheitsgrad nicht variablen die man man frei wählen kann, wenn man ein LGS mit weniger linear unabhängigen Gleichungen als Variablen hat, da es dann ja unendlich viele Lösungen gibt?
Vielleicht betrachten wir mal ein Beispiel.
Wenn ich den Kern einer 4x4 Matrix berechen will und per Gauß feststelle dass 3 Spalten linear abhängig sind, also letztendlich noch 2 Gleichungen bleiben muss ich ja ein homogenes Gleichungssystem mit Lösungsmenge 0, 4 Variablen und 2 Gleichungen lösen. Wie gehe ich jetzt Schritt für Schritt vor?
Beispiel:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -5 & 5 \\ 2 & 4 & -4 & 7 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & -3 & 4 }
[/mm]
Ich komme auf die beiden Gleichungen:
[mm] 1x_{1}+2x_{2}-1x_{3}+2x_{4}=0
[/mm]
[mm] -2x_{3}+1x_{4}=0
[/mm]
Wie komme ich nun zu der Basis des Kerns?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Mo 04.02.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst 2 beliebige nehmen, hier ist es aber einfacher [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] zu nehmen. mit [mm] x_4=2x_3 [/mm] weiter mit x2=..x1+..x3
ob dein GS richtig gelöst ist, hab ich nicht überprüft
bis dann, lula
|
|
|
|
