Nullstellen von Funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Fr 21.10.2005 | | Autor: | irene |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute bin neu hier,
wisst ihr, wie man beweist, dass Funktionen genau an den Stellen Vorzeichenwechsel haben, an denen sie Nullstellen mit ungerader Ordnung haben? Und an den Nullstellen gerader Ordnung gibt es keinen Vorzeichenwechsel.
Kann man das überhaupt "relativ" einfach beweisen? Meine Freundin ist in der Oberstufe und möchte wissen, warum das gilt, d.h. ich suche einen allgemeinen Beweis mit möglichst einfachen Hilfsmitteln.
Vielen Dank für eure Hilfe,
Irene.
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Um was für einen Funktionentyp geht es denn? Ganzrationale Funktionen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 Fr 21.10.2005 | | Autor: | irene |
In unserer Aufgabe ging es nur um Polynome.
Aber wenn man das auch allgemeiner zeigen kann, würde mich echt interessieren wie das geht! 
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Die Sache ist relativ einfach. Eine Stetigkeitsbetrachtung genügt.
Nehmen wir als Beispiel an, daß bei 4 eine Nullstelle der Ordnung 3 unserer ganzrationalen Funktion [mm]f[/mm] liegt. Dann gibt es eine ganzrationale Funktion [mm]g[/mm] mit
[mm]f(x) = (x-4)^3 \cdot g(x) \ \ \text{und} \ \ g(4) \neq 0[/mm]
Das ist gerade die Definition der Ordnung einer Nullstelle.
Da [mm]g(4) \neq 0[/mm] ist, gilt auch [mm]g(x) \neq 0[/mm] in einer Umgebung von 4 (Stetigkeit ganzrationaler Funktionen; Bildchen zeichnen, z.B. mit [mm]g(4) = -1{,}5[/mm]). In [mm](x-4)^3 \cdot g(x)[/mm] hat also der Faktor [mm]g(x)[/mm] in unmittelbarer Umgebung von 4 immer dasselbe Vorzeichen. Dagegen ändert [mm](x-4)^3[/mm] sein Vorzeichen an der Stelle 4. Insgesamt ergibt sich daher eine Vorzeichenänderung an der Stelle 4.
Und wie das Ganze bei geradzahliger Nullstellenordnung geht, sollte jetzt auch klar sein.
Das Beweis-Verfahren läßt sich auf beliebige analytische Funktionen (das sind Funktionen, die lokal eine Potenzreihenentwicklung besitzen) übertragen, z.B. die Sinusfunktion.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:15 Fr 21.10.2005 | | Autor: | irene |
Danke für Deine Hilfe
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