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Forum "Uni-Numerik" - Nullstellen mit Hornerschema
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Nullstellen mit Hornerschema: Algorithmus
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:42 Mo 28.02.2005
Autor: Morpheus

Gibt es ein Verfahren, um die Nullstellen eines höhergradigen Polynoms
p(t)= [mm] \summe_{k=1}^{N} [/mm] ak* [mm] t^k [/mm]
mit grad p>4 zu bestimmen? Bitte nichts mit Polynomdivision oder ausprobieren mit dem Hornerschema, indem man a0 in seine Primfaktoren aufspaltet, posten...;-) (Ist etwas zu aufwendig, finde ich)
Ich bräuchte irgendwas handfestes, was immer geht und nicht so lange braucht. Am besten was mit dem Hornerschema...
Thx Morph
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Nullstellen mit Hornerschema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:08 Mo 28.02.2005
Autor: Einstein

Mit dem Newtonschen Näherungsverfahren kann man alle Nullstellen (incl. imaginäre bzw. komplexe Nullstellen) von beliebigen Polynomen bestimmen.
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Nullstellen mit Hornerschema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:42 Mo 28.02.2005
Autor: Julius

Hallo!

Explizite elemenare Lösungen, die nur mit Wurzeln auskommen (also radikalische Lösungsformeln),kann man nur für Polynome maximal vierten Grades finden. Das ist ein wichtiges Resultat der Algebra.

Für gewisse Polynomklassen höheren Grades gibt es auch (transzendente) Lösungsformeln, die aber beliebig unübersichtlich und unhandlich werden, siehe etwa []hier für ein Polynom fünften Grades.

Also kann man entweder nur Nullstellen raten (und dann per Polynomdivision oder Horner-Schema abspalten) oder, wie  "Einstein" angemerkt hat, numerisch approximieren.

Viele Grüße
Julius
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Nullstellen mit Hornerschema: Nullstellen über Eigenwerte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:52 Sa 05.03.2005
Autor: TomJ

Ich hab mal ein Programm geschrieben, dass u.a. zu jedem Polynom beliebigen Grades eine entsprechende Matrix bildet, deren (numerisch berechnete) Eigenwerte die vollst. Lösungsmenge sind. Probleme dabei treten nur vereinzelzt in Trivialfällen (mehrfache Lösungen) auf.

Ich könnte also bei konkreten Problemen helfen.
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Nullstellen mit Hornerschema: thx
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:06 Sa 05.03.2005
Autor: Morpheus

danke für das Angebot, aber mir geht es eher um ein Verfahren, dass auch ohne Compi geht und recht schnell zum Erfolg führt, ohne das man raten muss!

Wenn die schnellste Methode darin besteht, die Faktoren von a0 als Nullstellen auszuprobieren und dann abzuspalten, dann muss ich mich damit abfinden;-)
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