Nullstellen in Kreisscheibe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Mi 20.07.2011 | | Autor: | cruemel |
| Aufgabe | Man zeige
$f(z)= [mm] e^z [/mm] + [mm] 3z^3$
[/mm]
hat auf der Kreisscheibe $|z|<1$ genau drei Nullstellen. Davon ist genau eine reell, und die anderen beiden sind zueinander komplex konjugiert. |
Hallo,
kann mir bei dieser Aufgabe jemand weiterhelfen?
Dass die Funktion genau drei Nullstellen innerhalb der Kreisscheibe hat, habe ich bereits mit dem Satz von Rouche gezeigt.
Das mind. eine davon reell sein muss, habe ich mit dem Zwischenwertsatz gezeigt, das höchstens eine reell ist, habe ich mit der ersten Ableitung, die streng monoton steigend ist auf der Kreisscheibe bewiesen.
Also habe ich jetzt eine reelle Nullstelle und zwei komplexe.
Was mir jetzt noch fehlt ist der Beweis, dass die beiden komplexen Nullstellen komplex konjugiert zueinander sind.
Ich habe schon eine Weile rumprobiert, z.B. habe ich $z= a+bi$ bzw. [mm] $z=Re^{i\varphi}$ [/mm] in die Bedingung [mm] $-e^z =3z^3$ [/mm] eingesetzt, leider erfolglos.
Hat jemand eine Idee?
Vielen Dank schon mal
Crümel
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Hallo cruemel,
> Man zeige
>
> [mm]f(z)= e^z + 3z^3[/mm]
>
> hat auf der Kreisscheibe [mm]|z|<1[/mm] genau drei Nullstellen.
> Davon ist genau eine reell, und die anderen beiden sind
> zueinander komplex konjugiert.
> Hallo,
> kann mir bei dieser Aufgabe jemand weiterhelfen?
>
> Dass die Funktion genau drei Nullstellen innerhalb der
> Kreisscheibe hat, habe ich bereits mit dem Satz von Rouche
> gezeigt.
> Das mind. eine davon reell sein muss, habe ich mit dem
> Zwischenwertsatz gezeigt, das höchstens eine reell ist,
> habe ich mit der ersten Ableitung, die streng monoton
> steigend ist auf der Kreisscheibe bewiesen.
Hmm, kannst du das mal anreißen?!
> Also habe ich jetzt eine reelle Nullstelle und zwei
> komplexe.
>
> Was mir jetzt noch fehlt ist der Beweis, dass die beiden
> komplexen Nullstellen komplex konjugiert zueinander sind.
> Ich habe schon eine Weile rumprobiert, z.B. habe ich [mm]z= a+bi[/mm]
> bzw. [mm]z=Re^{i\varphi}[/mm] in die Bedingung [mm]-e^z =3z^3[/mm]
> eingesetzt, leider erfolglos.
>
> Hat jemand eine Idee?
Klappen sollte folgendes:
Angenommen, die Nullstelle ist [mm]z_0=a+bi[/mm]
Dann gilt [mm]e^{a+bi}+3(a+bi)^3=0[/mm]
Also umgeschrieben nach Real- und Imaginärteil:
[mm]e^{a}\cos(b)+3a(a^2-3b^2)=0 \ \wedge \ e^{a}\sin(b)+3b(3a^2-b^2)=0[/mm]
Zu zeigen ist, dass dann auch [mm]f(a-bi)=0[/mm], also [mm]e^{a-bi}+3(a-bi)^3=0[/mm] ist
Schreibe das mal analog um und vergleiche mit Real- und Imaginärteil von [mm]f(a+bi)[/mm]
Nutze die Eigenschaften des Sinus und Kosinus (ungerade - gerade ...)
>
> Vielen Dank schon mal
> Crümel
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Mi 20.07.2011 | | Autor: | cruemel |
>
> Hmm, kannst du das mal anreißen?!
>
Gerne:
Ich betrachte hierfür f eingeschränkt auf [mm] $\IR$, [/mm] da mich zunächst nur die reellen Nullstellen interessieren.
$ f(z)= [mm] e^z [/mm] + [mm] 3z^3 [/mm] $
$ f'(z)= [mm] e^z [/mm] + [mm] 9z^2 [/mm] $ also ist $ f'(z)>0 $ für alle $|z|<1$
[mm] $\Rightarrow [/mm] f(z)$ streng monoton steigend in $(-1,1)$, daher nur maximal eine reelle Nullstelle möglich. Mit dem Zwischenwertsatz muss dieser Wert auch angenommen werden, da [mm] $f(-1)=e^{-1}-3<0$ [/mm] und [mm] $f(1)=e^{1}+3>0$, [/mm] also gibt es (genau) ein [mm] $c\in \IR$ [/mm] mit $f(c)=0$
Daher müssen die anderen beiden Nullstellen komplex sein.
Ist das korrekt so?
Nun zu den komplex konjugierten Nullstellen:
Deinem Vorschlag folgend komme ich auf das gewünsche Ergebnis, vielen Dank, eigentlich ists ja ganz einfach, aber irgendwie hatte ich wohl ein Brett vorm Kopf 
Also vielen Dank für deine Unterstützung
Grüße
crümel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:53 Do 21.07.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> >
> > Hmm, kannst du das mal anreißen?!
> >
> Gerne:
> Ich betrachte hierfür f eingeschränkt auf [mm]\IR[/mm], da mich
> zunächst nur die reellen Nullstellen interessieren.
> [mm]f(z)= e^z + 3z^3[/mm]
> [mm]f'(z)= e^z + 9z^2[/mm] also ist [mm]f'(z)>0[/mm] für alle [mm]|z|<1[/mm]
> [mm]\Rightarrow f(z)[/mm] streng monoton steigend in [mm](-1,1)[/mm], daher
> nur maximal eine reelle Nullstelle möglich. Mit dem
> Zwischenwertsatz muss dieser Wert auch angenommen werden,
> da [mm]f(-1)=e^{-1}-3<0[/mm] und [mm]f(1)=e^{1}+3>0[/mm], also gibt es
> (genau) ein [mm]c\in \IR[/mm] mit [mm]f(c)=0[/mm]
> Daher müssen die anderen beiden Nullstellen komplex
> sein.
>
> Ist das korrekt so?
Ja, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und schön aufgeschrieben.
>
> Nun zu den komplex konjugierten Nullstellen:
> Deinem Vorschlag folgend komme ich auf das gewünsche
> Ergebnis, vielen Dank, eigentlich ists ja ganz einfach,
> aber irgendwie hatte ich wohl ein Brett vorm Kopf
>
> Also vielen Dank für deine Unterstützung
> Grüße
> crümel
>
>
>
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Do 21.07.2011 | | Autor: | cruemel |
An meili: Danke 
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Da steckt ein viel allgemeinerer Sachverhalt dahinter: Läßt sich [mm]f(z)[/mm] durch eine Taylorreihe um 0 mit reellen (wichtig!) Koeffizienten [mm]a_{\nu}[/mm] darstellen, dann rechnet man:
[mm]\overline{f(z)} = \overline{\sum_{\nu} a_{\nu} z^{\nu}} = \sum_{\nu} \overline{a_{\nu} z^{\nu}} = \sum_{\nu} \overline{a_{\nu}} \cdot \overline{z^{\nu}} = \sum_{\nu} a_{\nu} \cdot \overline{z}^{\nu} = f(\overline{z})[/mm]
Und für [mm]f(z) = \operatorname{e}^z + 3z^3[/mm] ist das offensichtlich der Fall.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:22 Do 21.07.2011 | | Autor: | cruemel |
Stimmt, an diese Möglichkeit habe ich garnicht gedacht. Vielen Dank für den Hinweis.
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