Nullstellen in Kreisen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Do 14.07.2011 | | Autor: | Nisse |
| Aufgabe | | Bestimme die Anzahl der Nullstellen von [mm]f(z):= z^5+z^2-5z+1[/mm] in [mm]A:= \left\{ z \in \IC: |z|<1 \right\}[/mm], [mm]B:= \left\{ z \in \IC: 1<|z|<2 \right\}[/mm] und [mm]C:= \left\{ z \in \IC: |z|>1 \right\}[/mm]. |
Mit dem Satz von Rouché erhalte ich mit [mm]a(z):= -5z[/mm] eine Nullstelle in A und mit [mm]b(z):=z^5[/mm] fünf Nullstellen im offenen Kreis mit Radius 2.
Damit ist A gelöst. Für B und C fehlt mir aber die Information, wie viele Nullstellen auf den Kreislinien [mm]|z|=1[/mm] und [mm]|z|=2[/mm] liegen. Kennt jemand einen eleganten Trick, das zu bestimmen?
(Achtung: Ausrechnen der Nullstellen ist nur erlaubt, wenn ohne Computer möglich. No brute force solutions.) ;-]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Do 14.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme die Anzahl der Nullstellen von [mm]f(z):= z^5+z^2-5z+1[/mm]
> in [mm]A:= \left\{ z \in \IC: |z|<1 \right\}[/mm], [mm]B:= \left\{ z \in \IC: 1<|z|<2 \right\}[/mm]
> und [mm]C:= \left\{ z \in \IC: |z|>1 \right\}[/mm].
> Mit dem Satz
> von Rouché erhalte ich mit [mm]a(z):= -5z[/mm] eine Nullstelle in A
> und mit [mm]b(z):=z^5[/mm] fünf Nullstellen im offenen Kreis mit
> Radius 2.
>
> Damit ist A gelöst. Für B und C fehlt mir aber die
> Information, wie viele Nullstellen auf den Kreislinien
> [mm]|z|=1[/mm] und [mm]|z|=2[/mm] liegen. Kennt jemand einen eleganten Trick,
> das zu bestimmen?
Sei [mm] z_0 [/mm] eine Nullstelle von f.
Dann ist also:
[mm] $1=5z_0-z_o^2-z_0^5=z_0(5-z_0-z_0^4)$
[/mm]
Annahme: [mm] $|z_0|=1:
[/mm]
Dann folgt: [mm] $1=|5-z_0-z_0^4|$ [/mm] und somit:
[mm] $|5-z_0|-1=|5-z_0|-|z_0^4| \le |5-z_0-z_0^4|=1$.
[/mm]
Damit ist
[mm] $|5-z_0| \le [/mm] 2$
Kann das sein ?
FRED
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> (Achtung: Ausrechnen der Nullstellen ist nur erlaubt, wenn
> ohne Computer möglich. No brute force solutions.) ;-]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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