Nullstellen bestimmen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Untersuche die Nullstellen und das Verhalten für x--> [mm] \infty [/mm] und für x [mm] \to [/mm] - [mm] \infty! [/mm]
1) y=-0,5x³+3x³-4x
2) [mm] y=x^{5}+2x^{3}-15x
[/mm]
|
Hallo,
also ich verstehe das nicht so richtig. Wenn man die Funktion in linearfaktoren zerlegt, dann kann man ja die nullstellen einfach ablesen, aber könnt ihr mir vielleicht mal einfach erklären, wie ich das generell in linearfaktoren zerlegen kann?
und das mit dem globalverhalten schau ich mir eben erst mal an...
viele grüße
Informacao
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Do 30.11.2006 | | Autor: | Lueger |
Hallo...
> Untersuche die Nullstellen und das Verhalten für x-->
> [mm]\infty[/mm] und für x [mm]\to[/mm] - [mm]\infty![/mm]
> 1) y=-0,5x³+3x³-4x
Ich nehme mal an das heißt [mm] 3x^2 [/mm] oder?
> 2) [mm]y=x^{5}+2x^{3}-15x[/mm]
>
>
Nullstellen.
1)
einfach ein x Ausklammer und dann mit Vieta oder allgm. Lösungsformel für quadratische Terme lösen
(also -0,5x Ausklammern).
2)
ebenfalls ein x Ausklammern
[mm] y=x(x^4+2x^2-15)
[/mm]
hier siehst du direkt eine Nullstelle x1=0
Betrachtung von [mm] (x^4+2x^2-15)
[/mm]
jetzt ersetzt du [mm] x^2 [/mm] durch z (Subsitution)
=> [mm] z^2+2z-15
[/mm]
=(z-3)(z+5)
=> z1 = 3; z2 = -5
Resubsitution
[mm] z1=x^2=3
[/mm]
=> [mm] x2=\wurzel{3}
[/mm]
[mm] x3=-\wurzel{3}
[/mm]
[mm] z2=x^2=-5
[/mm]
--> Wurzel aus einer negativen Zahl im rellen nicht lösbar
=> Funktion hat 3 Nullstellen $x1=0$; [mm] x2=\wurzel{3} [/mm] ; [mm] x3=-\wurzel{3}
[/mm]
Alles klar?
Grüße
Lueger
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 Do 30.11.2006 | | Autor: | Informacao |
hi,
hab gerade nur den 1. Satz gelesen, aber es heißt [mm] x^{3}. [/mm] das war schon richtig so!
geht das dann genauso??
Informacao
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:07 Do 30.11.2006 | | Autor: | Lueger |
Ja geht genauso
y=-0,5x³+3x³-4x
=> [mm] 2,5x^3-4x
[/mm]
dann ausklammern und dann hast du wieder einen quatratischen Term.
Du musst immer irgendwie auf einen quadratischen Term kommen.
Denn eine Lsg. formel für Funktionen 3 Grades ist schon extrem aufwendig
Sonst hilft nur raten und überprüfen durch Polynomendivision.
Grüße
Lueger
|
|
|
| |
|
Hi? Und hä?
Kannst du mir das mal noch mal langsam erklären! Das ging garnicht rein in meinen Kopf!!
Ich hab das noch nie mit Substitution gemacht..
Und vielleicht doch nochmal den Teil, wo ich das Globalverhalten angeben muss, das habe ich auch nicht verstanden!
Viele Grüße
Informacao
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Do 30.11.2006 | | Autor: | Lueger |
Hi Informacao
sorry war vielleicht etwas zu durcheinander.
$ [mm] y=x^{5}+2x^{3}-15x [/mm] $
Schritt 1. X-ausklammern
$ [mm] y=x(x^4+2x^2-15)$
[/mm]
Der Term wird Null wenn einer der Faktoren Null wird.
Wir haben im Moment 2. Faktoren.
Man kann erkennen, dass wenn man für x - Null einsetzt der ganze Term Null wird. Also ist die erste Nullstelle des Terms x1=0
Jetzt betrachten wir nur noch den Term
[mm] $(x^4+2x^2-15)$
[/mm]
Da du diesen nicht Lösen kannst musst du ihn umformen.
Du setzt nun für [mm] x^2 [/mm] einfach eine Variable ein ich habe z genommen.
Also [mm] x^2=z
[/mm]
[mm] $(x^4+2x^2-15)$
[/mm]
$= [mm] ((x^2)^2+2x^2-15)$
[/mm]
jetzt ersetzt du [mm] x^2 [/mm] durch z... das nennt man Substitution
[mm] $(z^2+2z-15)$
[/mm]
Nun hast du einen ganz normalen quatratischen Term den du mit der allgemeinen Lösungsformel (oder Vieta) lösen kannst
Z1/2= ... usw.
Du bekommst für
z1=3 raus und für z2=-5
Nun willst du ja die Nullstellen von f(x)
Also resubstituierst du jetzt einfach wieder
Z= [mm] x^2
[/mm]
[mm] z1=x^2=3 [/mm] Wurzel ziehen
[mm] x=-\wurzel{3} [/mm] oder [mm] \wurzel{3}
[/mm]
das gleiche gilt für z2
[mm] z2=x^2=-5
[/mm]
Es ist nicht möglich aus negativen Zahlen die Wurzel zu ziehen.
Also keine weiteren Nullstellen.
Also sind die Nullstellen
x1=0; [mm] x2=-\wurzel{3} [/mm] und [mm] x3=\wurzel{3}
[/mm]
Jetzt klar???
Das Globalverhalten erklär ich dir auch ... schicke das nur schon einmal ab so das du es schon mal nachvollziehen kannst
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 Do 30.11.2006 | | Autor: | Lueger |
So Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs.
$ [mm] y=x^{5}+2x^{3}-15x [/mm] $
Du willst jetzt wissen was passiert wenn der Graph der Funktion gegen + oder - Unendlich läuft.
Da du den Wert Unendlich ja nicht fassen kannst (es gibt immer noch größere Zahlen) und somit nicht in die Funktion einsetzten kannst führt man eine Grenzwertbetrachtung durch (Limes)
[mm] $\limes_{n\rightarrow+\infty} x^{5}+2x^{3}-15x$
[/mm]
Jetzt schaust du was jeder Summand macht
[mm] $\limes_{n\rightarrow+\infty} \underbrace{x^{5}}_{geht gegen +\infty}+\underbrace{2x^{3}}_{geht gegen \infty}\underbrace{-15x}_{geht gegen -\infty}$
[/mm]
da [mm] x^5 [/mm] natürlich wesendlich schneller wächst als das -15x läuft die ganze Funktion gegen [mm] +\infty
[/mm]
[mm] $\limes_{n\rightarrow+\infty} x^{5}+2x^{3}-15x \to +\infty$
[/mm]
Mathematisch beweisen lässt sich das dadurch das man durch [mm] x^5 [/mm] teilt aber ich glaube, dass das nicht verlangt ist, oder??
weitere Fragen???
Grüße
Lueger
|
|
|
| |
|
Hi,
danke für die Hilfe. Das mit den Nullstellen hab ich jetzt verstanden.
Aber das mit dem globalen Verhalten noch nicht ganz. Wir hatten das mit dem Limes noch nicht genau...also wir müssen das irgendwie anders machen, ich weiß nur nicht genau, wie? !
Geht das auch anders?
Viele Grüße
Informacao
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Do 30.11.2006 | | Autor: | Lueger |
Ja geht auch noch anderst. Ist aber nur ein Unterschied in der Schreibweise.
Der Limes ist an dieser stelle eigentlich gar nicht andwenbar.
Ihn darf man nur anwenden wenn ein konkreter Wert als Grenzwert fassbar ist.
Hab aber noch keinen Lehrer gesehen der das nicht akzeptiert hat.
Also die andere Schreibweise wäre
$x [mm] \to +\infty=> x^{5}+2x^{3}-15x \to +\infty$
[/mm]
Die Argumentation ist aber die gleiche
|
|
|
| |
|
Hi,
danke für deine Ausdauer 
Ich habe soweit alles verstanden, aber das mit dem Globalverhalten ist mir (insbesondere im Hinblick auf die klausur) echt nicht vertraut. Ich verstehe nicht, was das soll und wie ich das generell angeben soll und warum...
wie würde denn das globalverhalten bei der anderen funktion (f(x)=2,5x³-4x) aussehen?
Viele Grüße
Informacao
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Do 30.11.2006 | | Autor: | Lueger |
> Ich habe soweit alles verstanden, aber das mit dem
> Globalverhalten ist mir (insbesondere im Hinblick auf die
> klausur) echt nicht vertraut. Ich verstehe nicht, was das
> soll und wie ich das generell angeben soll und warum...
>
> wie würde denn das globalverhalten bei der anderen funktion
> (f(x)=2,5x³-4x) aussehen?
Also du sollst immer untersuchen was die Funktion bei + bzw - Unendlich macht.
Bei ganzrationalen Funktionen ist das relativ einfach, da du einfach nur nach dem Summanden mit der höchsten Potzen schauen musst.
Also dein Beispiel.
Du schaust was passiert wenn f(x)=2,5x³-4x gegen + Unendlich läuft.
Die zwei Summanden sind
[mm] 2,5x^3 [/mm]
und
-4x
So jetzt
$x [mm] \to [/mm] + [mm] \infty [/mm] => f(x)=2,5x³-4x [mm] \to [/mm] ?$
Da der Summand [mm] 2,5x^3, [/mm] bei größerwerdenden Werten schneller anwächst als -4x musst du nur diesen untersuchen.
Vielliecht kann ich dir das durch eine kleine Tabelle verdeutlichen
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das bedeutet bei sehr großen Zahlen wird die Funktion auf jeden Fall positiv.
wenn du jetzt Unendlich "einsetzt" kann man sagen die Funktion streb nun bei dem "x-Wert unendlich" einem undenlichen "y-wert" zu.
Also
$x [mm] \to [/mm] + [mm] \infty [/mm] => f(x)=2,5x³-4x [mm] \to +\infty$
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dies siehst du auch an der Zeichnung
Die selbe Betrachtung machst du jetzt auch für
$x [mm] \to [/mm] - [mm] \infty$
[/mm]
Wieder wächst der Summand [mm] 2,5x^3 [/mm] schneller als der -4x
Dies mal halt ins negative
Deswegen gilt
$x [mm] \to [/mm] - [mm] \infty [/mm] => f(x)=2,5x³-4x [mm] \to -\infty$
[/mm]
siehe auch Graph der Funktion
jetzt klar?
Grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 Do 30.11.2006 | | Autor: | Informacao |
Danke!!
Ich glaube, ich verstehe es so langsam! Also, ich muss mir quasi immer den Summand mit dem höchsten Exponenten anschauen und dann mal schauen, was passiert, wenn negative und wenn positive werte eingesetzt werden!
DAnke für die Hilfe!
Ich melde mich nochmal, wenn ich noch fragen habe 
Viele Grüße
Informacao
|
|
|
|
