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Hallo,
ich habe eine für euch bestimmt sehr einfache Frage.
Und zwar möchte ich die Nullstellen von folgendem Polynom berechnen:
[mm] x^8-2*x^7+2*x^6-4*x^2+x^4-2*x^3
[/mm]
Aber ich möchte das ohne Polynomdivision machen, denn das würde ja ewig dauern. Ich habe schon mal angefangen das [mm] x^3 [/mm] nach vorne zu ziehen, somit hätte ich dann
[mm] x^3*(x^5-2*x^4+2*x^3-4*x^2+x-2) [/mm]
Dann sind schon mal [mm] x_{1,2,3} [/mm] =0
Aber wie kann ich jetzt geschickt weiter machen? Um das ganze in Binomische Formeln zu schreiben, was wahrscheinlich möglich ist, brauche ich viiiiel zu lange Zeit...Oder gibt es da einen Trick?
Danke schon mal!
Liebe Grüße
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Hi!
> Hallo,
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> ich habe eine für euch bestimmt sehr einfache Frage.
> Und zwar möchte ich die Nullstellen von folgendem Polynom
> berechnen:
> [mm]x^8-2*x^7+2*x^6-4*x^2+x^4-2*x^3[/mm]
Bist du sicher, dass der Term so richtig ist? Heraus kommen nämlich keine tollen Nullstelln...
Nach Potenzen geordnet sieht es so aus:
[mm]x^8-2x^7+2x^6+x^4-2x^3-4x^2
[/mm]
> Aber ich möchte das ohne Polynomdivision machen, denn das
> würde ja ewig dauern. Ich habe schon mal angefangen das
> [mm]x^3[/mm] nach vorne zu ziehen, somit hätte ich dann
> [mm]x^3*(x^5-2*x^4+2*x^3-4*x^2+x-2)[/mm]
Sinnvoll ist es hier nur die kleinste vorkommende Potenz auszuklammern.
Hier: [mm]x^2[/mm]
Dann steht da:
[mm]x^2\cdot(x^6-2x^5+2x^4+x^2-2x-4)[/mm]
Nun kannst du dir die ersten beiden Nullstellen herausschreiben.
Hattet ihr schon das Newtonverfahren zur Nullstellenbestimmung?
Valerie
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Oh SORRY!!!
Hab mich verschrieben... Es soll so sein:
[mm] x^8-2x^7+2x^6-4x^5+x^4-2x^3
[/mm]
Nein, das Newton-Verfahren hatten wir in diesem Zusammenhang nicht...
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Hallo judithlein,
> Oh SORRY!!!
> Hab mich verschrieben... Es soll so sein:
>
> [mm]x^8-2x^7+2x^6-4x^5+x^4-2x^3[/mm]
>
>
> Nein, das Newton-Verfahren hatten wir in diesem
> Zusammenhang nicht...
Das brauchst Du auch in diesem Zusammenhang nicht.
Der erste Schritt ist, wie Du schon gemacht hast, [mm]x^{3}[/mm] auszuklammern:
[mm]x^{3}*\left(x^5-2x^4+2x^3-4x^2+x-2\right)[/mm]
Von dem Polynom
[mm]x^5-2x^4+2x^3-4x^2+x-2[/mm]
bestimmst Du die Nullstellen, indem Du
sämtliche Teiler des Absolutgliedes als
mögliche Nullstellen betrachtest.
Hier also, alle Teiler von -2: [mm]-1, \ +1, \ -2, \ +2[/mm]
Gruss
MathePower
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Ok, dann bekomme ich noch 2 als einfache Nullstelle heraus. Aber in meiner Lösung sind dann noch die komplexen Nullstellen [mm] \pm [/mm] i heraus gekommen. Wie kommt man denn darauf?
Also wir haben keinen Lösungsweg für die Nullstellenberechnung aufgeschrieben. Aufgeschrieben haben wir nur, dass man das Polynom auch als
[mm] x^3*(x-2)*(x^2+1)^2 [/mm]
schreiben kann. Aber da würde ich in der Prüfung niemals so schnell drauf kommen, wenn überhaupt....
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Hallo judithlein,
> Ok, dann bekomme ich noch 2 als einfache Nullstelle heraus.
> Aber in meiner Lösung sind dann noch die komplexen
> Nullstellen [mm]\pm[/mm] i heraus gekommen. Wie kommt man denn
> darauf?
> Also wir haben keinen Lösungsweg für die
> Nullstellenberechnung aufgeschrieben. Aufgeschrieben haben
> wir nur, dass man das Polynom auch als
> [mm]x^3*(x-2)*(x^2+1)^2[/mm]
> schreiben kann. Aber da würde ich in der Prüfung niemals
> so schnell drauf kommen, wenn überhaupt.
Führe eine Polynomdivision durch.
Hier: [mm]\left(x^5-2x^4+2x^3-4x^2+x-2\right):\left(x-2\right)[/mm]
Dann erhältst Du ein Polynom 4. Grades,
das Du als vollständiges Quadrat schreiben kannst.
Gruss
MathePower
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Ok, dann sehe ich es....aber dann gibt es anscheinend keinen besonderen "Trick" mit dem man das schneller sehen kann?
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Hallo judithlein,
> Ok, dann sehe ich es....aber dann gibt es anscheinend
> keinen besonderen "Trick" mit dem man das schneller sehen
> kann?
Der andere Trick ist, aus dem Polynom sofort x-2 auszuklammern.
Gruss
MathePower
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