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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Fr 02.06.2006 | | Autor: | Fschmidt |
| Aufgabe | ft(x)= [mm] 3-t*ln(x^2+t)
[/mm]
Für welche ganzzahligen WErte von t besitzt ft(x) Schnittpunkte mit der x-Achse? |
Hallo,
für die oben geanannte Teilaufgabe eins stelle ich mir den Lösungsansatz so vor.
Ich setzte die Funktion = 0 um einen Schnittpunkt zu erhalten:
0 = [mm] 3-t*ln(x^2+t)
[/mm]
Von Denkansatz hätte ich jetzt gerne die Funktion nach x umgestellt. Da bekomme ich:
x= [mm] \pm \wurzel{e^{ \bruch{3}{t}}-t}
[/mm]
Eine Lösung gibt es nun nur wenn der Ausdruck unter der Wurzel > 0 ist.
Jedoch kann ich das nicht exakt lösen, da ich t nicht isolieren kann:
[mm] e^{ \bruch{3}{t}}-t [/mm] = 0
Hier komme ich nicht weiter.
Ist mein Denkansatz bereits falsch oder habe ich einen Rechenfehler.
Ich bin um jede Hilfe dankbar.
Viele Grüße,
Florian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Fr 02.06.2006 | | Autor: | Disap |
> ft(x)= [mm]3-t*ln(x^2+t)[/mm]
>
> Für welche ganzzahligen WErte von t besitzt ft(x)
> Schnittpunkte mit der x-Achse?
> Hallo,
Servus.
> für die oben geanannte Teilaufgabe eins stelle ich mir den
> Lösungsansatz so vor.
> Ich setzte die Funktion = 0 um einen Schnittpunkt zu
> erhalten:
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 0 = [mm]3-t*ln(x^2+t)[/mm]
> Von Denkansatz hätte ich jetzt gerne die Funktion nach x
> umgestellt. Da bekomme ich:
>
> x= [mm]\pm \wurzel{e^{ \bruch{3}{t}}-t}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Eine Lösung gibt es nun nur wenn der Ausdruck unter der
> Wurzel > 0 ist.
> Jedoch kann ich das nicht exakt lösen, da ich t nicht
> isolieren kann:
>
> [mm]e^{ \bruch{3}{t}}-t[/mm] = 0
Eigentlich heißt es ja:
[mm] $e^{ \bruch{3}{t}}-t [/mm] > 0$
> Hier komme ich nicht weiter.
Diese Ungleichung musst du numerisch lösen. Z. B. mit dem Newtonverfahren.
Es gibt zwei Nullstellen, grob abgelesen lauten diese
[mm] t_1 \approx -5.17*10^{-25}
[/mm]
[mm] t_2 \approx [/mm] 2.85
Die Ergebnisse dürfen nun also [mm] t<-5.17*10^{-25} [/mm] sein und müssen ebenfalls kleiner als 2.85 sein.
Somit ergeben sich die Lösungen für alle ganzzahligen t < 0 (also -1,-2,-3 usw) und t=+2 sowie t=+1
t=0 kann nicht enthalten sein, weil wenn du t=0 mal in die Funktionsgleichung einsetzt, erkennst du, dass die Funktion y=3 lautet. Das macht wenig Sinn. Keine Nullstelle
> Ist mein Denkansatz bereits falsch oder habe ich einen
> Rechenfehler.
Nö, der stimmt.
> Ich bin um jede Hilfe dankbar.
> Viele Grüße,
> Florian
Liebe Grüße
Disap
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