Nullstellen Funktionsschar mit < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f(k):x\mapsto\bruch{1}{4}\*x\*\wurzel{k-x} [/mm] , [mm] k\in\IR
[/mm]
1. Bestimmen Sie die Nullstellen
2. Zeigen Sie, daß der Graph f(k) bei [mm] x=\bruch{2}{3}k [/mm] einen Hochpunkt hat
3. Bestimmen Sie die Stammfunktion |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo erstmal,
1.irgendwie stehe ich bei dieser Aufgabe auf dem Schlauch. Meine Idee für die Nullstelle war es, die Funktion erst zu Quadrieren dann mit Hilfe der abc- (pq-) Formel die Nullstellen zu berechnen. Nur was mache ich dann mit dem k? Setz ich das dann am schluss einfach hinter die Nullstelle?
2. Dann die Ableitungen bestimmen mit Hilfe der Kettenregel. Nur macht mir dann die Wurzel wieder Probleme. Kann ich zum Ableiten meine quadrierte Funktion auch nehmen? Glaube das wäre leichter.
3. Stammfunktion bilden verstehe ich auch nicht ganz. Mir macht das K und die Wurzel immer zu schaffen.
Wäre net wenn mir eine Helfen könnte. Danke!
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Hi, mathiassh,
> [mm]f(k):x\mapsto\bruch{1}{4}\*x\*\wurzel{k-x}[/mm] , [mm]k\in\IR[/mm]
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> 1. Bestimmen Sie die Nullstellen
> 1.irgendwie stehe ich bei dieser Aufgabe auf dem Schlauch.
> Meine Idee für die Nullstelle war es, die Funktion erst zu
> Quadrieren dann mit Hilfe der abc- (pq-) Formel die
> Nullstellen zu berechnen. Nur was mache ich dann mit dem k?
Erst musst Du mal die DEFINITIONSMENGE ermitteln!
Sonst weißt Du gar nicht, ob die berechneten Lösungen auch wirklich Nullstellen sind!
Also: In einer Wurzel muss der Radikand [mm] \ge [/mm] 0 sein:
k - x [mm] \ge [/mm] 0 <=> x [mm] \le [/mm] k.
Demnach: D = [mm] ]-\infty [/mm] ; k]
Nun setze den Funktionsterm =0:
(Den Bruch 1/4 kannst Du dabei gleich weglassen!)
[mm] x*\wurzel{k - x} [/mm] = 0
Hier nun greift die Regel:
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn EINER DER FAKTOREN =0 ist.
Daher:
x=0 [mm] \vee\ [/mm] k - x=0
bzw.: x=0 [mm] \vee\ [/mm] x=k.
Nun musst Du schauen, ob diese Stellen auch wirklich in der Definitionsmenge liegen:
x=k liegt auf jeden Fall drin (Rand von D!), ist also Nullstelle.
Aber bei x=0 musst Du eine Fallunterscheidung machen:
1.Fall: k > 0; dann liegt x=0 in D, ist Nullstelle.
2.Fall: k=0; auch dann liegt x=0 in D, fällt aber mit x=k zusammen (da k ja selbst =0 ist); es gibt also nur die eine Nullstelle x=0.
3.Fall: k<0; dann liegt x=0 NICHT in D, ist folglich keine Nullstelle der Funktion.
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> 2. Dann die Ableitungen bestimmen mit Hilfe der
> Kettenregel. Nur macht mir dann die Wurzel wieder Probleme.
> Kann ich zum Ableiten meine quadrierte Funktion auch
> nehmen? Glaube das wäre leichter.
Das darfst Du auf keinen Fall! Du musst mit Produktregel (und "ein bissl Kettenregel") vorgehen.
> 3. Stammfunktion bilden verstehe ich auch nicht ganz. Mir
> macht das K und die Wurzel immer zu schaffen.
Du musst z=k-x substituieren!
mfG!
Zwerglein
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