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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Sa 29.11.2008 | | Autor: | JMW |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Funktion auf Nullstellen, lokale Extrema und Asymptoten:
f(x) = [mm] \bruch{x-1}{x^3+4x^2+4x} [/mm] |
Die Nullstellen sieht man ja sofort im Zähler: ist 1.
Für Extremstellen f'(x) = 0
Für die Ableitung habe ich die Quotientenregel benutzt.
und hab dann raus:
[mm] \bruch{-2x^3-x^2+8x+4}{(x^3+4x^2+4x)^2}
[/mm]
Erste Nullstelle erraten: x1=2
Dannach den Rest ausgerechnet und komme dann auf x2=-2 und x3=-0,5
[mm] \Rightarrow [/mm] lokale Extrema bei -2, 2 und -0,5
Ist das richtig so, daß ich die Quotientenregel angewedet habe oder gibt es da einen einfacheren und schnelleren Weg?
Bei den Asymptoten komme ich nicht richtig weiter. So wie ich verstanden habe muß ich jetzt eine polynomdivision machen: [mm] \bruch{x-1}{x^3+4x^2+4x}
[/mm]
und bekomme dann [mm] \bruch{1}{(x+2)^2}-\bruch{1}{x(x+2)^2}
[/mm]
danach lass ich x gegen [mm] \infty [/mm] laufen [mm] \Rightarrow [/mm] Assymptote bei y=0?
Ist das wirklich so?
Danke schonmal!
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Hallo JMW,
> Untersuchen Sie folgende Funktion auf Nullstellen, lokale
> Extrema und Asymptoten:
> f(x) = [mm]\bruch{x-1}{x^3+4x^2+4x}[/mm]
> Die Nullstellen sieht man ja sofort im Zähler: ist 1.
> Für Extremstellen f'(x) = 0
>
> Für die Ableitung habe ich die Quotientenregel benutzt.
> und hab dann raus:
>
> [mm]\bruch{-2x^3-x^2+8x+4}{(x^3+4x^2+4x)^2}[/mm]
>
> Erste Nullstelle erraten: x1=2
>
> Dannach den Rest ausgerechnet und komme dann auf x2=-2 und
> x3=-0,5
Beim genaueren Hinsehen, haben Zähler und Nenner der Ableitung die Nullstelle x2=-2:
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] lokale Extrema bei -2, 2 und -0,5
Bei x2=-2 liegt kein Extrema vor, da dies Nullstelle vom Nenner der Funktion ist.
>
> Ist das richtig so, daß ich die Quotientenregel angewedet
> habe oder gibt es da einen einfacheren und schnelleren
> Weg?
Ja, die Quotientenregel hast Du richtig angewandt.
>
> Bei den Asymptoten komme ich nicht richtig weiter. So wie
> ich verstanden habe muß ich jetzt eine polynomdivision
> machen: [mm]\bruch{x-1}{x^3+4x^2+4x}[/mm]
>
> und bekomme dann [mm]\bruch{1}{(x+2)^2}-\bruch{1}{x(x+2)^2}[/mm]
> danach lass ich x gegen [mm]\infty[/mm] laufen [mm]\Rightarrow[/mm]
> Assymptote bei y=0?
> Ist das wirklich so?
Ja, das sind die waagrechten Asymptoten.
Es gibt aber auch noch senkrechte Asymptoten.
Das sind üblicherweise die Stellen, an denen der Nenner 0 wird.
>
> Danke schonmal!
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Sa 29.11.2008 | | Autor: | JMW |
Dankeschön! also sind die senkrechten Asymptoten x=0 und x = -2
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Hallo JMW,
> Dankeschön! also sind die senkrechten Asymptoten x=0 und x = -2
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
So ist es!
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:14 Sa 29.11.2008 | | Autor: | JMW |
Super  Danke!!
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