Nullstellen Exponentialfunk < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Sa 02.05.2015 | | Autor: | Anubis2k |
| Aufgabe | | [mm]0=4^{x-2}-17*2^{x-4}+1[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab die Gleichung soweit umgestellt:
[mm]0=\bruch{1}{16}4^x-\bruch{17}{16}*2^x+1[/mm]
nun komm ich nicht weiter. durch Zeichnen des Graphen weis ich das die Nullstellen bei 0 und 4 für x sind.
Kann mir jemand zeigen was ich noch umstellen muss?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Sa 02.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]0=4^{x-2}-17*2^{x-4}+1[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich hab die Gleichung soweit umgestellt:
> [mm]0=\bruch{1}{16}4^x-\bruch{17}{16}*2^x+1[/mm]
>
> nun komm ich nicht weiter. durch Zeichnen des Graphen weis
> ich das die Nullstellen bei 0 und 4 für x sind.
>
> Kann mir jemand zeigen was ich noch umstellen muss?
ich würde so rechnen:
[mm] $0=4^{x-2}-17*2^{x-4}+1=2^{2(x-2)}-17*2^{x+4}+1$
[/mm]
[mm] $=2^{2x}*2^{-4}-17*2^{4}*2^{x}+1=2^x*\left(\frac{2^x}{16}-\frac{17}{16}\right)+1$
[/mm]
Jetzt sieht man ganz schön, dass für [mm] $x=0\,$ [/mm] die Klammer den Wert -1 hat
(1/16-17/16=-16/16=-1).
Man sieht auch, was für x=4 passiert.
Um zu argumentieren, dass das die einzigen Nullstellen sind, würde ich mir
überlegen, ob ich vielleicht irgendwas über *stückweises Monotonieverhalten*
der Funktion
$x [mm] \longmapsto 2^x*\left(\frac{2^x}{16}-\frac{17}{16}\right)+1$
[/mm]
aussagen kann.
Einen algebraischen Weg, die Gleichung
[mm] $0=2^x*\left(\frac{2^x}{16}-\frac{17}{16}\right)+1$
[/mm]
nach x aufzulösen, sehe ich nicht hat Fred uns ja gezeigt. 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 Sa 02.05.2015 | | Autor: | Anubis2k |
Dank deines Ansatzes bin ich auf die Substitution gekommen die ich gebraucht habe. Tausend Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Sa 02.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Setze [mm] z=2^x. [/mm] Dann bekommst Du eine quadratische Gleochung für z.
FRED
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