Nullstellen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Sa 29.09.2007 | | Autor: | Paul1985 |
| Aufgabe | | x³ - 6x² +2 + 11x - 6 = 0 |
Hallo, suche die Nullstellen zur oben genannten Funktion.
Mein Ansatz:
x³ - 6x² +2 + 11x - 6 = 0
x³ - 6x² + 11x - 4 = 0
x³ - 6x² + 11x - 4 = 4 | + 4
x (x² - 6x +11) = 4 | * (x² - 6x +11)
x = 4
und hier habe ich aufgehört...
Ich habe mir die Funktion zeichnen lassen, und die NS ist deffinitiv nicht bei 4 :(
Hat jemand einen Ansatz für mich?
Gruß,
P
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Hallo Paul1985,
normalerweise würd ich jetzt eine Polynomdivision vorschlagen. Da es aber eh nur eine Nullstelle gibt und die nicht ganz so schön ist würd ich das Newtonverfahren nehmen.
Grüße
Slartibartfast
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:21 So 30.09.2007 | | Autor: | Paul1985 |
Hab mir so eben das Newtonverfahren angeschaut...
Nur glaub ich kann ich es nicht so richtig anwenden ;)
Allgemeine Formel:
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] x_{n} [/mm] - [mm] \bruch{f(x_{n})}{f'(x_{n}}
[/mm]
Von einer Webseite...
f(x) = x² - 2
f'(x) = 2x
[mm] x_{1} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{2²-2}{2*1} [/mm] = 1.5
usw usw.
und so kam ich auch an meine NS für f(x) x² = 2
Ein weiteres Beispiel dort war:
f(x) = x - cos(x)
f'(x) = 1 + sin(x)
und hier bin ich gescheitert...
[mm] x_{1} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1-cos(1)}{1+sin(1)} [/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{\approx 0.00015}{\approx 0.0174} [/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \approx [/mm] 0.9998
was falsch ist...
Laut Webseite mit n = 1: [mm] x_{1}0,7504
[/mm]
Wo liegt mein Fehler ? :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:54 So 30.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Allgemeine Formel:
>
> [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]x_{n}[/mm] - [mm]\bruch{f(x_{n})}{f'(x_{n}}[/mm]
In deinem Fall heißt das:
[mm] x_{n+1}=x_n-\bruch{x_{n}^3-6x_{n}^2+11x_{n}-4}{3x_{n}^2-12x_{n}+11}
[/mm]
f(0,4)<0 und f(0,6)>0, wir wissen also, dass f(x)=0 für [mm] x\in(0,4;0,6)
[/mm]
Starte bei [mm] x_n=0,6.
[/mm]
Mit Newton kommst du dann auf die richtige Nullstelle.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:11 So 30.09.2007 | | Autor: | Paul1985 |
Entweder ich sitze schon zu lange an der Aufgabe oder ich verstehs einfach nicht :(
Wie kommst Du auf 0,4 und 0,6 ?
Ich habe nämlich mit x = 1 angefangen...
Die Werte die rauskamen waren grob:
[mm] x_{0} [/mm] = -8,333
[mm] x_{1} [/mm] = -2,38
[mm] x_{2} [/mm] = -0,67
[mm] x_{3} [/mm] = 0,84
[mm] x_{4} [/mm] = 1,04
und das geht ja völlig daneben :(
Denn laut Plotter liegt die NS bei ca. 0,47 :(
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Hallo!
Vermutlich sitzt du wirklich schon etwas lange davor...
Hier meine Ergebnisse mit Startwert x=1:
1.0
0.0
0.36363636363636365
0.46960794786881743
0.47855853486486333
0.47862029026685188
0.47862029319543242
Nach 4 Schritten ist das Ergebnis schon ziemlich perfekt.
Mein Vorredner ist auf 0,4 und 0,6 vermutlich durch probieren gekommen. Beim Newton-Verfahren kommt es darauf an, dass man möglichst nahe an der Nullstelle anfängt, denn ansonsten kann es gut passieren, dass man die Nullstelle NICHT oder erst spät findet.
Schau dir mal [mm] $x^2*e^x [/mm] -1$ an. Das Dingen hat bei etwa 0,7 ne Nullstelle, bei 0 ein Minimum, und geht dann asymptotisch gegen -1 für negative x. Wenn du als Startpunkt was größeres als 0 nimmst, findest du die Nullstelle, wenn du was kleineres nimmst, haut dir das Newton-Verfahren ins Unendliche ab, dabei ist noch nicht mal der Grenzwert 0.
Und wenn du bei 0 startest, gibts ne Division durch 0.
Daher immer erstmal ein paar Werte ausprobieren, bei unterschiedlichen Vorzeichen liegt ne Nullstelle dazwischen, sofern die Funktion da keine Pole etc hat.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:40 So 30.09.2007 | | Autor: | Paul1985 |
Vielen Dank für Deine ausführliche Antwort.
Vielleicht liegt ja mein Fehler ganz wo anders:
Ich machs jetzt wirklich Schritt für Schritt ;o)
mit x = 1
[mm] x_{n+1}=x_{n}-\bruch{x_{n}^3-6x_{n}^2+11x_{n}-4}{3x_{n}^2-12x_{n}+11}
[/mm]
[mm] x_{0}=1-\bruch{1^3-6*1^2+11*1-4}{3*1^2-12*1+11}
[/mm]
[mm] x_{0}=1-\bruch{-28}{8}
[/mm]
[mm] x_{0}= [/mm] 4,5
:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:49 So 30.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Paul!
Da hast Du Dich aber irgendwo gleich zweimal verrechnet:
[mm] $$x_0 [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{1^3-6*1^2+11*1-4}{3*1^2-12*1+11} [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{1-6+11-4}{3-12+11} [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{2}{2} [/mm] \ = \ 1-1 \ = \ 0$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:57 So 30.09.2007 | | Autor: | Paul1985 |
Aaaaaah, peinlich peinlich....
ich habe gerechnet mit
$ [mm] x_0 [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{1^3-(6\cdot{}1)^2+11\cdot{}1-4}{(3\cdot{}1)^2-12\cdot{}1+11} [/mm] $
Nungut, jetzt ist es selbstverständlich warum ich nicht auf Eure Lösung kam :)
Gruß und tausend Dank,
Paul
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