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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Nullstellen- Komplexes polynom
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Nullstellen- Komplexes polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:57 Fr 22.01.2010
Autor: wong_fei_hung

Aufgabe 1
geg:
komplexes Polynom P(z) = z³ - w
Punkt w = 1 + [mm] i\wurzel{3} [/mm]

1) bestimmten sie alle nullstellen


Aufgabe 2
welche teilmenge von [mm] \IC [/mm] sind durch |z|=2 sowie |z-z1|=|z-z2|
definiert ?

hy - super forum hier ;)

wie geh ich da am besten ran ?
mit dem raten klappts da nicht so und kann ich den punkt w erst am ende meiner rechnungen einsetzen ?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

DANKE

        
Bezug
Nullstellen- Komplexes polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:31 Fr 22.01.2010
Autor: schachuzipus

Hallo wong_fei_hung und erst einmal herzlich [willkommenmr],

> geg:
>  komplexes Polynom P(z) = [mm] z^3- [/mm] w
>  Punkt w = 1 + [mm]i\wurzel{3}[/mm]
>  
> 1) bestimmten sie alle nullstellen
>
>
> welche teilmenge von [mm]\IC[/mm] sind durch |z|=2 sowie
> |z-z1|=|z-z2|
>  definiert ?
>  hy - super forum hier ;)
>  
> wie geh ich da am besten ran ?
>  mit dem raten klappts da nicht so und kann ich den punkt w
> erst am ende meiner rechnungen einsetzen ?

Raten ist auch nicht Sinn der Sache, verwende besser mal die MBMoivre-Formel

Du hast, wenn du die Gleichung umstellst ja die Lösungen der Gleichung

[mm] $z^3=w=1+\sqrt{3}i$ [/mm]

zu bestimmen.

Nun brauchst du den Betrag von [mm] $z^3$, [/mm] also [mm] $\left|z^3\right|$ [/mm] und das Argument [mm] $\varphi$ [/mm] von [mm] $z^3$. [/mm]

Wie berechnet man den Betrag einer komplexen Zahl?

Weiter:

Für eine komplexe Zahl [mm] $\xi=\alpha+\beta\cdot{}i$ [/mm] mit [mm] $\alpha>0$ [/mm] kannst du das über die Formel [mm] $\varphi=\arctan\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)$ [/mm] berechnen.

Hier also [mm] $\operatorname{arg}\left(z^3\right)=\varphi=\arctan(\sqrt{3})$ [/mm]

Dieser Wert ist wohlbekannt ...

Verwende diese Hinweise und den obigen link zur Moivreformel, dann bekommst du die 3 Lösungen ...


Für die andere Aufgabe bedenke, dass für [mm] $w\in\IR^+_0$ [/mm] doch [mm] $|z-z_0|=w$ [/mm] die Menge aller [mm] $z\in\IC$ [/mm] bezeichnet, die von [mm] $z_0$ [/mm] einen Abstand von w haben.

Damit ist $|z|=2$ klar, oder?

Alternativ setze $z=x+iy$ mal ein und rechne es geradeheraus aus.

Welches geometrische Gebilde kommt heraus?

Bei der anderen hilft die geometrische Abstandsüberlegung schneller weiter als Einsetzen und Ausrechnen.

Gesucht ist die Menge aller [mm] $z\in\IC$, [/mm] die von [mm] $z_1$ [/mm] und [mm] $z_2$ [/mm] denselben Abstand haben.

Welche (Punkt-)Menge kann das wohl sein ... ?

>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> DANKE  


Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Nullstellen- Komplexes polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 Mo 25.01.2010
Autor: wong_fei_hung

Hy, ihr seit ja schnell hier. habs leider erst heut früh gesehen...

erstmal danke für die ausführliche antwort:

bei der aufg 1 hab ich nun

z³=8(cos [mm] \pi [/mm] + i sin [mm] \pi)= 8e^{3i\pi} [/mm]

ist das korrekt ? und wie mach ich dann weiter ?


Bezug
                        
Bezug
Nullstellen- Komplexes polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:06 Mo 25.01.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

stelle bitte Anschlussfragen auch als Fragen und nicht als Mitteilung.

Das rückt sie durch das rote Köstchen deutlicher in den Vordergrund ...

> Hy, ihr seit ja schnell hier. habs leider erst heut früh
> gesehen...
>  
> erstmal danke für die ausführliche antwort:
>  
> bei der aufg 1 hab ich nun
>  
> z³=8(cos [mm]\pi[/mm] + i sin [mm]\pi)= 8e^{3i\pi}[/mm] [notok]

Es ist doch [mm] $\left|z^3\right|=\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{4}=2$ [/mm]

Und [mm] $arg\left(z^3\right)=\arctan(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3}$ [/mm]

Damit [mm] $z^3=2\cdot{}\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+i\cdot{}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$ [/mm]

>  
> ist das korrekt ?

Nein

> und wie mach ich dann weiter ?

Schaue dir den obigen Link an, da steht ein Rezept, wie man die 3 Lösungen [mm] $z_0,z_1,z_2$ [/mm] berechnet ...

Gruß

schachuzipus  


Bezug
                                
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Nullstellen- Komplexes polynom: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:34 Mo 25.01.2010
Autor: wong_fei_hung

sry hab das beispiel bei der moivre formel nicht gesehen. danke hab jetzt die 3 nullstellen.

[mm] z_{0} [/mm] = [mm] 2^{1/3} [/mm] (cos  1/9 [mm] \pi [/mm] + i sin  1/9 [mm] \pi) [/mm]
[mm] z_{1} [/mm] = [mm] 2^{1/3} [/mm] (cos  7/9 [mm] \pi [/mm] + i sin  7/9 [mm] \pi) [/mm]
[mm] z_{2} [/mm] = [mm] 2^{1/3} [/mm] (cos 13/9 [mm] \pi [/mm] + i sin 13/9 [mm] \pi) [/mm]

für aufgabe 2 hab ich für |z| = 2 die kreisgleichung
x²-y² = 4   als kreis um M(0,0) mit radius = 2
d.h. die erste teilmenge sind die punkte auf diesem kreis !?

mit dem anderen teil der 2. aufg komm ich nicht klar.
falls meine nullstellen stimmen, hab ich da ein paar fragen.  
1) ich hab mir die NS mal ausgerechnet und die liegen alle auf ca 1,26 + i 0.0xx =>  wieso kommt bei einer nullstelle trotzdem was für i(Im-Achse) raus ?

2) wenn die menge den gleichen abstand haben soll ist das doch einfach die "halbe strecke" zwischen z1 und z2 ?





Bezug
                                        
Bezug
Nullstellen- Komplexes polynom: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mi 27.01.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                                
Bezug
Nullstellen- Komplexes polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 Mo 01.02.2010
Autor: wong_fei_hung

Aufgabe
Bei der anderen hilft die geometrische Abstandsüberlegung schneller weiter als Einsetzen und Ausrechnen.

Gesucht ist die Menge aller $ [mm] z\in\IC [/mm] $, die von $ [mm] z_1 [/mm] $ und $ [mm] z_2 [/mm] $ denselben Abstand haben.

Welche (Punkt-)Menge kann das wohl sein ... ?  

könntest du diesen punkt bitte nochmal erklären ?

Bezug
                                                        
Bezug
Nullstellen- Komplexes polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 Mo 01.02.2010
Autor: fred97


> Bei der anderen hilft die geometrische Abstandsüberlegung
> schneller weiter als Einsetzen und Ausrechnen.
>  
> Gesucht ist die Menge aller [mm]z\in\IC [/mm], die von [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm]
> denselben Abstand haben.
>  
> Welche (Punkt-)Menge kann das wohl sein ... ?
> könntest du diesen punkt bitte nochmal erklären ?


Wir malen:

1. Zeichne in die komplexe Ebene die Punkte [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm]

2. Berechne den Mittelpunkt [mm] z_m [/mm] der Strecke von [mm] z_1 [/mm] nach [mm] z_2 [/mm]

3. Sei g die Gerade durch [mm] z_m, [/mm] die senkkrecht auf der Geraden durch [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] steht


Hilft das ?

FRED

Bezug
                                                                
Bezug
Nullstellen- Komplexes polynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:16 Mo 01.02.2010
Autor: wong_fei_hung

ja wunderbar, das mit der senkrechten zur gerade zwischen z1 und z2 hat mir super geholfen . DANKE !!

Bezug
                                                                        
Bezug
Nullstellen- Komplexes polynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:18 Mo 01.02.2010
Autor: wong_fei_hung

sry , hab mitteilung als frage gestellt.

-closed-

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