Nullstelle 3-gradiges Polynom < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallihallo!
Ich steh gerade aufm Schlauch. Ich hätte gerne die Nullstellen des Polynoms [mm] X^3 [/mm] + X + 1, damit ich dann die Zerfällungskörper und den Isomorphietyp der Galoisgruppe angeben kann... nur scheiter ich gerade schon an den Nullstellen. Ich muss das doch ausprobieren wenn ich die pq - Formel (Übungsklausur, ich gehe davon aus dass ich die 3-Gradformel nicht parat habe) nicht benutzen will, oder?
Ich bin schon bei irgendwelchen i + 1 gelandet, aber ich krieg sie nicht hin. Weiß jemand weiter?
Vielen lieben dank!
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Hier leigt keine ganzzahlige Nullstelle vor also scheidet Polynomdivision aus.
Nächste Möglichkeit heisst Newton Näherungsverfahren (hier Anfangswert -1)
Gruß madodojumi
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Oje ja das hatten wir in Numerik... aber wie gesagt ich will mir ja eine Klausursituation vorstellen. Kann man die Nullstelle nicht irgendwie sehen?
Klar, ganzzahlige find ich logischerweise nicht. Aber gehts nicht einfacher als Newton auszupacken? Theoretisch haben wir den in Algebra ja noch gar nicht.
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Hallo,
ich denke nicht, dass es einfacher als mit Newton geht. Das einzige was du brauchst ist einen Startwert zu finden. Das geht doch auch schnell. Zudem bestitzt deine Funktion nur eine reelle Nullstelle 
Alternativ kannst du auch Cardano anwenden ist aber viel zu umständlich.
Ich würde es auch mit Newton machen.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 Di 10.02.2009 | | Autor: | SEcki |
> Ich steh gerade aufm Schlauch. Ich hätte gerne die
> Nullstellen des Polynoms [mm]X^3[/mm] + X + 1, damit ich dann die
> Zerfällungskörper und den Isomorphietyp der Galoisgruppe
> angeben kann... nur scheiter ich gerade schon an den
> Nullstellen.
Also der Zerfällungskörper gehört zu dem Polynom und ist dadurch bestimmt. Für Polynome dritten Grades gibt es ja nur zwei Fälle: alle drei NST sind reelll, oder eine ist reell und zwei echt komplex, aber konjugiert zu einander. Damit ergibt sich die Galois-Gruppe. Mit ein bisschen Analysis kann man schnell zeigen, dass es aber nur eine reelle NST gibt. Das Newton-Verfahren würde ich bei so was eher komplett vergessen!
SEcki
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Guuut. Danke. Also ich versprech ich werd mir nach der Klausur dann auch mal Newton und ein bisschen Analysis geben und die Nullstelle auf verschiedene Weisen berechnen:) Ich würd nur ganz gerne die Nullstelle wissen damit ich das eigentliche Problem angehen kann. Und vertrau dann drauf dass ich in der Klausur darauf kommen werde... verrät sie mir jemand?
DANKE
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Hallo,
[mm] x_{0}=-0,68 [/mm]
Gruß
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Öhäm ja danke aber gibts auch noch ne mathematische Darstellung? Ansprüche...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:22 Mi 11.02.2009 | | Autor: | Blech |
Nein. Es gibt angeblich eine Lösungsformel für Polynome dritten Grades. Niemand hat sie je gesehen oder verwendet und imho war es nur ein schlauer Trick eines Doktoranden, sich seine Promotion zu erschleichen. Wenn irgendwo wirklich nach der Nst gefragt wird, dann kann man sie entweder mit einem Trick berechnen (wüßte hier nicht wie), oder sie ist sehr offensichtlich.
Wie oben schon gesagt, Du willst die Nst. gar nicht wissen. Die erste Ableitung ist strikt positiv, also gibt es genau eine reelle Nst (wg Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs) und damit zwei echt komplexe.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:09 Mi 11.02.2009 | | Autor: | dudelidei |
Na gut, kann man wohl nix machen... aber danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:51 Mi 11.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan
> Nein. Es gibt angeblich eine Lösungsformel für Polynome
> dritten Grades. Niemand hat sie je gesehen oder verwendet
> und imho war es nur ein schlauer Trick eines Doktoranden,
> sich seine Promotion zu erschleichen.
Ich hoffe, das meinst du nicht ganz ernst. Die ![[]](/images/popup.gif) Cardanischen Formeln gibt es naemlich sehr wohl.
Aber du hast schon recht, die Nullstelle in `expliziter Form' braucht man hier nicht.
LG Felix
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Die reelle Lösung ist:
$\ x\ =\ [mm] \wurzel[3]{\bruch{1}{18}*(\wurzel{93}\,-9)}\ [/mm] -\ [mm] \wurzel[3]{\bruch{2}{3*(\wurzel{93}\,-9)}}$
[/mm]
Setzt man sie in den Term [mm] x^3+x+1 [/mm] ein,
so ergibt sich:
[mm] $\bruch{1}{2}\ [/mm] +\ [mm] \bruch{\wurzel{\bruch{31}{3}}}{6}\ [/mm] -\ [mm] \bruch{2}{3*(\wurzel{93}\,-9)}$
[/mm]
Kleine Übung: Zeige, dass dies gleich Null ist ...
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zur Bestimmung der Galoisgruppe siehe da
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