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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Sa 19.05.2007 | | Autor: | Engel205 |
| Aufgabe | f: [a,b] [mm] \to \IR [/mm] sei stetig
Zeige:
1. Falls f(x) [mm] \ge [/mm] 0 für alle x, f aber nicht die Nullfunktion ist, so gilt:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}>0
[/mm]
2. Falls [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=0, [/mm] so besitzt f mindestens eine Nullstelle. |
Kann mir bitte jemand einen Ansatz geben oder ein paar Tipps wie ich das zeigen kann?
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Hiho,
du weisst ja nach dem Hauptsatz:
[mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx} = F(b) - F(a)[/mm]
Weiterhin weisst du [mm]F'(x) = f(x)[/mm] sowie die Voraussetzung f(x) [mm] \ge [/mm] 0.
Kommst nun alleine weiter?
Bei 2. der gleiche Ansatz:
[mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=F(b) - F(a) =0[/mm]
und [mm]F'(x) = f(x)[/mm] und Mittelwertsatz der Differentialrechnung (bzw. einfacherer Spezialfall "Satz von Rolle").
Hoffe das hilft dir 
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Sa 19.05.2007 | | Autor: | Engel205 |
Noch nicht so ganz, also bei eins wenn ich den Hauptsatz habe der ja klar ist... muss ich dann zeigen da f(x)>0 ist auch F(x)>0 und daher auch das Integral?
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Hiho,
bei 1. Willst du ja Zeigen [mm]F(b) - F(a) > 0[/mm], ergo musst du zeigen [mm]F(b) > F(a)[/mm]
Naja, und wenn F(x) auf [a,b] definiert ist und [mm]F'(x)=f(x) \ge 0[/mm] gilt, was weisst du dann über F(x) ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Sa 19.05.2007 | | Autor: | Engel205 |
ahaaa weiß ich dann dass F(x)>0 sein muss?
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Hiho,
nein, leider nicht.
Wenn F'(x) [mm] \ge [/mm] 0 gilt, ist F(x) monoton steigend. Wie kommt man mit diesem Wissen auf den Schluss F(b) > F(a) ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Sa 19.05.2007 | | Autor: | Engel205 |
Weil das integral sonst kleiner als 0 wäre
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Sa 19.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Engel!
Mit der Monotonie von $F(x)_$ , die ja aus $F'(x) \ = \ f(x) \ > \ 0$ folgt, gilt auch automatisch:
$b \ > \ a$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $F(b) \ > \ F(a)$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 Sa 19.05.2007 | | Autor: | Gonozal_IX |
Nochmal kurz:
Loddar hat schon recht, allerdings gilt nur [mm]f(x) \ge 0[/mm] gilt und nicht [mm]f(x) > 0[/mm], daher kannst du erstmal nur schlussfolgern [mm]F(b) \ge F(a)[/mm]
Musst natürlich noch begründen, warum [mm]F(b) = F(a)[/mm] eben nicht eintreten kann.
MfG,
Gono.
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