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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 Sa 09.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Als Vorarbeit für den Satz von der Gebiertstreu haben wir das folgende Lemma gemacht.
Lemma :
Sei U offen in [mm] \mathbb C [/mm], sei f holomorph auf U, sie
[mm] B := B_r(c) [/mm] mit [mm] \overline{B} \subset U [/mm] und sei
[mm] \min_{ z \in \partial B } | f(z) | > | f(c) | [/mm].
Dann besitzt f eine Nullstelle in [mm] \overline{B} [/mm].
Was soll mir diese Lemma sagen? Ich kann mir nicht viel drunter vorstellen. Das was ich mir im Moment ausmale, ist dass, wenn ich eine offene Teilmenge des komplexen Zahlen habe und eine holomorphe Funktion auf ihr, und ich mir eine offene Kreisscheibe um c mit Radius r vorstellle, deren Abschluss komplett in der Telmenge liegt und das Minimum über alle z auf dem Rand der Scheibe vom Betrag von f(z) her größer ist, als der Betrage vom Funktionswert im Mittelpunkt, die Funktion DANN eine Nullstelle in der geschlossenen Kreisscheibe hat....
Wenn ich versuche den Beweis zu verstehen, scheiter ich an einer Sache, die wahrscheinlich total simpel ist, und ich nicht da drauf komme...
Beweis :
Angenommen [mm] f(z) \ne 0 \ \forall z \in B [/mm].
Da [mm] \min_{ z \in \partial B } | f(z) | > | f(c) | > 0 [/mm], folgt [mm] f(z) \ne 0 \forall z \in \overline{B} = B \cup \partial B [/mm].
Weil f stetig ist, ex eine offene Umgebung V von [mm] \overline{B} [/mm] in U mit [mm] f(z) \ne 0 \ \forall z \in V [/mm] .
( Dies leuchtete mir nicht ein... )
Wir definieren [mm] g: V \to \mathbb C [/mm] durch
[mm] g(z) := \bruch{1}{f(z) } | [/mm]. Dann ist g holomorph.
[mm] \Rightarrow | g(c) | \le \max{ \xi \in \partial B } | g( \xi ) | = \bruch{1}{ \min_{ \xi \in \partial B } | f(\xi) | [/mm].
[mm] | f(c) | > \min_{ z \in \partial B } | f(z) | > | f(c) | [/mm].
Das ist dann ein Widerspruch.
Vielen Dank im Voraus!
Viele Grüße
Irmchen
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Stetigkeit heißt doch, daß kleine Änderungen im Urbildbereich auch nur kleine Änderungen im Bildbereich nach sich ziehen. Wenn daher eine stetige Funktion an einer Stelle nicht 0 wird, dann ist sie auch in einer ganzen Umgebung dieser Stelle von 0 verschieden.
Wegen [mm]|f(z)| > |f(c)| \geq 0[/mm] für alle [mm]z \in \partial B[/mm], besitzt [mm]f[/mm] keine Nullstellen auf dem Rand von [mm]B[/mm]. Wenn du dich nun nur "ein kleines bißchen" nach außen bewegst, kann da immer noch keine Nullstelle liegen. Etwas formaler: Bestimme zu jedem [mm]z \in \partial B[/mm] eine in [mm]\mathbb{C}[/mm] offene Umgebung [mm]V(z) \subset U[/mm], in der [mm]f[/mm] nullstellenfrei ist. Dann ist
[mm]V = B \cup \bigcup_{z \in \partial B} V(z)[/mm]
eine Umgebung von [mm]\overline{B}[/mm], wie im Satz verlangt.
Mich irritiert etwas anderes. Warum wird im Satz behauptet, daß [mm]f[/mm] in [mm]\overline{B}[/mm] eine Nullstelle besitzen muß, wo man das doch sogar für [mm]B[/mm] selbst sagen kann? Oder habe ich da etwas übersehen?
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