Nullmenge in Ausgangsmenge < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe eine Frage:
in meinem Skript steht:
"3.2.5 Gilt fuer A [mm] \in [/mm] P(A)..(P(A) ist Potenzmenge von A)
P(A) = 0 bzw. P(A) = 1..(P(A) ist Wahrscheinlichkeitsabbildung.)
so spricht man von A als von einer Nullmenge bzw. von einer Einsmenge."
Meine Frage: Kann das so gewollt sein? A ist doch hier die Ausgangsmenge und P(A) die Potenzmenge von A. Das A [mm] \in [/mm] P(A) ist ist doch selbstverstaendlich, oder?
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> in meinem Skript steht:
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> "3.2.5 Gilt fuer A [mm]\in[/mm] P(A)..(P(A) ist Potenzmenge von A)
>
> P(A) = 0 bzw. P(A) = 1..(P(A) ist
> Wahrscheinlichkeitsabbildung.)
>
> so spricht man von A als von einer Nullmenge bzw. von einer
> Einsmenge.
Hallo,
ich gehe davon aus, daß das ein Druckfehler ist, und daß da stehen sollte
"Gilt fuer A [mm]\in[/mm] [mm] P(\Omega)...(P(\Omega) [/mm] ist Potenzmenge von [mm] \Omega) [/mm] usw."
Gruß v. Angela
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> ich gehe davon aus, daß das ein Druckfehler ist, und daß da
> stehen sollte
>
> "Gilt fuer A [mm]\in[/mm] [mm]P(\Omega)...(P(\Omega)[/mm] ist Potenzmenge von
> [mm]\Omega)[/mm] usw."
Ok das macht Sinn. Geh ich recht in der Annahme, dass als Nullmenge eigentlich nur [mm] \emptyset [/mm] und als Einsmenge eigentlich nur [mm] \Omega [/mm] in Frage kommt?
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> Ok das macht Sinn. Geh ich recht in der Annahme, dass als
> Nullmenge eigentlich nur [mm]\emptyset[/mm] und als Einsmenge
> eigentlich nur [mm]\Omega[/mm] in Frage kommt?
Nein, z.B. (!) sind auch die einelementigen Mengen Nullmengen und die abzählbaren Vereinigungen dieser, und entsprechend die Menge [mm] "\Omega [/mm] ohne die oben genannten Mengen" Einsmenge.
Gruß v. Angela
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> Nein, z.B. (!) sind auch die einelementigen Mengen
> Nullmengen und die abzählbaren Vereinigungen dieser, und
> entsprechend die Menge [mm]"\Omega[/mm] ohne die oben genannten
> Mengen" Einsmenge.
Das versteh ich nicht: Eine einelementige Menge ist eine Menge, die nur ein einziges Resultat aus dem Ausgangsraum enthaelt. Der Ausgangsraum ist die Menge aller moeglichen Resultate
[mm] \omega \in \Omega [/mm] wenn [mm] \omega [/mm] ein moegliches Ergebnis
Gaelte fuer eine einelementige Teilmenge { [mm] \omega [/mm] } [mm] \subset \Omega
[/mm]
P({ [mm] \omega [/mm] }) = 0,
dann heisst das doch, dass die Wahrscheinlichkeit, dass [mm] \omega [/mm] eintritt 0 ist. Also
[mm] \omega \not\in \Omega
[/mm]
Oder wie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Sa 09.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Sancho!
> > Nein, z.B. (!) sind auch die einelementigen Mengen
> > Nullmengen und die abzählbaren Vereinigungen dieser, und
> > entsprechend die Menge [mm]"\Omega[/mm] ohne die oben genannten
> > Mengen" Einsmenge.
>
> Das versteh ich nicht: Eine einelementige Menge ist eine
> Menge, die nur ein einziges Resultat aus dem Ausgangsraum
> enthaelt. Der Ausgangsraum ist die Menge aller moeglichen
> Resultate
>
> [mm]\omega \in \Omega[/mm] wenn [mm]\omega[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ein moegliches Ergebnis
Genau.
> Gaelte fuer eine einelementige Teilmenge { [mm]\omega[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\subset \Omega[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> P({ [mm]\omega[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}) = 0,
>
> dann heisst das doch, dass die Wahrscheinlichkeit, dass
> [mm]\omega[/mm] eintritt 0 ist. Also
Ja.
> [mm]\omega \not\in \Omega[/mm]
Nein. Nur weil ein Ereignis Wahrscheinlichkeit 0 hat, heisst das noch lange nicht, das es nicht trotzdem eintreten kann. (Merke: Wahrscheinlichkeiten haben nichts, aber auch gar nichts mit Realitaet zu tun :) )
Bei vielen Wahrscheinlichkeitsmassen ist es sogar essentiell, dass es viele Nullmengen gibt, da man ansonsten auf Wahrscheinlichkeitstheoretische Probleme stoesst, bzw. einfach das Problem hast, dass alles keine Sinn mehr macht. (Schau dir mal Masse auf [mm] $\IR$ [/mm] an, wenn du nicht ein abzaehlbares [mm] $\Omega$ [/mm] hast, dann muss fuer alle bis auf endlich viele $x [mm] \in \Omega$ [/mm] gelten [mm] $P(\{ x \}) [/mm] = 0$; also zumindest, wenn die [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] die einelementigen Mengen umfasst.)
LG Felix
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:43 Sa 09.06.2007 | | Autor: | sancho1980 |
> Nein. Nur weil ein Ereignis Wahrscheinlichkeit 0 hat,
> heisst das noch lange nicht, das es nicht trotzdem
> eintreten kann. (Merke: Wahrscheinlichkeiten haben nichts,
> aber auch gar nichts mit Realitaet zu tun :) )
Aber wenn ein Ereignis Wahrscheinlichkeit 0 hat, dann ist es doch kein moegliches Resultat mehr. Und [mm] \Omega [/mm] ist die Menge der *moeglichen* Resultate. Wenn etwas aber Wahrscheinlichkeit 0 hat, dann ist es ein UNmoegliches Resultat und duerfte m.E. auch nicht in [mm] \Omega [/mm] sein. Oder wie?
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Ein Ereignis, das mit Wahrscheinlichkeit 0 eintritt ist nicht unmöglich, nur unendlich unwahrscheinlich... (Die Antwort ist 42).
Zur Nullmasse: Welches Volumen hat ein Punkt im Raum? Und 2 Punkte? Und abzählbar unendlich viele Punkte?
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> Ein Ereignis, das mit Wahrscheinlichkeit 0 eintritt ist
> nicht unmöglich, nur unendlich unwahrscheinlich... (Die
> Antwort ist 42).
Hmmm, kannst du das mal konkretisieren? Wenn ich einen Wuerfel, soll dann die Ausgangsmenge etwa sein:
[mm] \Omega [/mm] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Und 7 ist dann unendlich unwahrscheinlich?
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> > Ein Ereignis, das mit Wahrscheinlichkeit 0 eintritt ist
> > nicht unmöglich, nur unendlich unwahrscheinlich... (Die
> > Antwort ist 42).
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> Hmmm, kannst du das mal konkretisieren? Wenn ich einen
> Wuerfel, soll dann die Ausgangsmenge etwa sein:
>
> [mm]\Omega[/mm] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
>
> Und 7 ist dann unendlich unwahrscheinlich?
Hallo,
keinesfalls. Obgleich ich von Stochastik nicht die große Ahnung habe, würde ich beherzt behaupten: die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt [mm] \bruch{1}{7}. [/mm]
Ich glaube, die Verwirrung kommt daher, daß nicht klar ist, worüber wir uns unterhalten:
Es ist ein Unterschied, ob die Ausgangsmenge abzählbar ist oder nicht.
Wenn Du als Ausgangsmenge [1,7] hast, sieht die Welt nämlich ganz anders aus...
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:19 So 10.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Ein Ereignis, das mit Wahrscheinlichkeit 0 eintritt ist
> > nicht unmöglich, nur unendlich unwahrscheinlich... (Die
> > Antwort ist 42).
>
> Hmmm, kannst du das mal konkretisieren? Wenn ich einen
> Wuerfel, soll dann die Ausgangsmenge etwa sein:
>
> [mm]\Omega[/mm] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
>
> Und 7 ist dann unendlich unwahrscheinlich?
Vielleicht ist 7 ja der Zustand, dass der Wuerfel auf einer Kante oder Ecke liegenbleibt. Das ist ziemlich unwahrscheinlich, so dass man ruhig [mm] $P(\{ 7 \}) [/mm] = 0$ setzen kann, kann aber durchaus mal vorkommen.
LG Felix
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Also eigentlich verschieben wir das Problem geschickt mit Hilfe der Definition der Zufallsvariablen. :)
Die ZV ist nämlich eine meßbare Abbildung in deine Menge [mm]\Omega[/mm], ausgehend von einem bestimmten Wahrscheinlichkeitsraum [mm]\Omega_0[/mm], von dem wir nur das Bildmaß kennen. Es gilt
[mm]P(X=7) = P(X(\omega)=7) = P \{ \omega \in \Omega_0 | X(\omega)=7 \} = 0[/mm]
Die Menge [mm]\{\omega \in \Omega_0 | X(\omega)=7 \}[/mm] muss jetzt nicht leer sein, um unter diesem Maß eine Nullmenge zu sein.
(Die Sache mit der 42 war natürlich eine Anspielung auf den Anhalter und den ![[]](/images/popup.gif) Unendlichen Unwahrscheinlichkeitsdrive)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:32 Sa 09.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Angela
> > Ok das macht Sinn. Geh ich recht in der Annahme, dass als
> > Nullmenge eigentlich nur [mm]\emptyset[/mm] und als Einsmenge
> > eigentlich nur [mm]\Omega[/mm] in Frage kommt?
>
> Nein, z.B. (!) sind auch die einelementigen Mengen
> Nullmengen
Das stimmt i.A. nicht! Z.B. bei dem Lebesgue-Mass auf [mm] $\IR^n$ [/mm] stimmt das, aber z.B. bei der Gleichverteilung auf einer endlichen Menge stimmt es nicht.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:11 Di 12.06.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Martin,
betrachte die Menge [mm] $\Omega=\{1,2,3\}$. [/mm] Setzt man [mm] $P(\{1\})=0$, $P(\{2\})=1/2$, $P(\{3\})=1/2$, [/mm] so wird durch [mm] $P(A)=\sum_{\omega\in A}P(\{\omega\})$ [/mm] fuer [mm] $A\subset\Omega$ [/mm] ein W-Mass definiert. Mithin ist [mm] $\{1\}$ [/mm] eine Nullmenge, obwohl sie nicht leer ist.
lg
Luis
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Schoen und gut
Aber mein Punkt war ja gerade: Wenn [mm] \Omega [/mm] die Gesamtheit aller MOEGLICHEN Ergebnisse ist, und sich dann herausstellt, dass ein Element von [mm] \Omega [/mm] gar nicht moeglich ist, weil es Wahrscheinlichkeit 0 hat, was hat es dann in [mm] \Omega [/mm] zu suchen? 
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> Schoen und gut
> Aber mein Punkt war ja gerade: Wenn [mm]\Omega[/mm] die Gesamtheit
> aller MOEGLICHEN Ergebnisse ist, und sich dann
> herausstellt, dass ein Element von [mm]\Omega[/mm] gar nicht
> moeglich ist, weil es Wahrscheinlichkeit 0 hat, was hat es
> dann in [mm]\Omega[/mm] zu suchen?
Hallo,
darf ich mich hier nochmal mit meinem Hausfrauenverstand einschalten?
Wenn man mir das intervall ]0,10[ vor die Nase legt und eine spitze Nadel in die Hand gibt, dann ist es mir sonnenklar, daß {7} ein mögliches Ergebnis meines blinden Zustechens wäre, ebenso wie [mm] \wurzel{2} [/mm] und viele andere. Wie alle anderen.
Ebenso klar ist es mir intuitiv, daß meine Nadelspitze "wohl nicht" genau auf der 7 landen wird..
Und wenn ich sage: "günstige Fälle durch mögliche Fälle", dann komme ich zur Wahrscheinlichkeit 0.
Das trifft ja für jedes der Elemente in ]0,10[ zu.
Aber daraus kann ich doch jetzt nicht schließen, daß die Menge der möglichen Ereignisse leer ist! (?)
Denn ich werde eine Zahl treffen, da bin ich mir ganz sicher. Ich bin mir sogar 100% sicher. Also ganz sicher. Ohne Zweifel.
Leuchtet Dir das ein?
Und was sagen die Stochastiker dazu?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:39 Fr 15.06.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Nach laengerem Nachdenken muss ich dir jedoch auch hier widersprechen: Die Wahrscheinlichkeit dass du eine bestimmte Zahl im Intervall [1,10] mit der Nadel triffst ist nicht 0. Sie ist unendlich klein. Sie strebt gegen 0. Aber sie ist es nicht!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:44 Do 14.06.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Martin,
ich will mich hier nicht an einem philosophischen Disput beteiligen.
Nur so viel: Das "unmoegliche Ereignis" ist per definitionem die
leere Menge [mm] $\emptyset$. [/mm] Dass ein Ereignis die Wahrscheinlichkeit 0 hat, heisst ja nicht, dass es nicht auftreten kann.
Um bei Angelas Beispiel in etwas abgwandelter Form zu bleiben: Du wirst
den beiden folgenden Ereignissen eine Wahrscheinlichkeit $>0$ zuordnen:
$A$="Ein Mensch ist mindestens so groess wie Martin"
$B$="Ein Mensch ist hoechstens so groess wie Martin"
Die Wahrscheinlichkeit fuer [mm] $A\cap [/mm] B$ ist aber Null, obgleich es nicht "unmoeglich" ist, wie deine Existenz beweist.
Noch ein Anlauf. Betrachte das folgende Spiel: Ein Wuerfel wird
so lange geworfen, bis eine Zahl [mm] $\ne [/mm] 1$ auftritt. Du gewinnst, wenn
schliesslich eine 2 oder 3 auftritt, anderenfalls verlierst du.
Natuerlich kann weiterhin eine 1 auftreten, aber um deine Gewinnchancen
zu berechnen, ist es irrelevant. Mithin scheint es in diesem
Zusammenhang sinnvoll zu sein, ein W-Mass wie folgt zu definieren:
[mm] $P(\{1\})=0$, $P(\{2\})=...=P(\{6\})=1/5$ [/mm] und [mm] $P(A)=\sum_{\omega\in
A}P(\{\omega\})$. [/mm] Danach ist deine Gewinnchance 2/5.
Natuerlich kannst du diese Aufgabe in dem gelaeufigeren Modell mit [mm] $P(\{1\})=P(\{2\})=...=P(\{6\})=1/6$ [/mm] berechnen gemaess [mm] P(\{2,3\}\mid\{2,3,4,5,6\})=(2/6)/(5/6)=2/5$.
[/mm]
Mathematische Definitionen korrespondieren nicht immer mit intuitiven Vorstellungen.
Wie gesagt, ich glaube, dass ich mich nicht mehr an der Debatte beteiligen moechte... Uff 
lg
Luis
PS: Hoch lebe Angelas "Hausfrauenverstand", von dem hier so viele profitieren!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:04 Fr 15.06.2007 | | Autor: | sancho1980 |
beim zweiten beispiel mit dem wuerfelwurf versteh ich den sachverhalt nicht ganz aber das mit der nadel leuchtet mir ein (wobei ich ehrlich gesagt glaube, dass eine nadel so dick ist, dass du gleich ein ganzes intervall triffst
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